Liste des petits groupes

La liste mathématique suivante contient tous les groupes finis d'ordre inférieur ou égal à 17, à isomorphisme près.

• Z_n : le groupe cyclique d'ordre n (parfois noté C_n, il est isomorphe à Z/nZ).

• D_n : le groupe diédral d'ordre 2n (il est parfois noté D_2n ou, chez les auteurs anglo-saxons, Dih_n).

• S_n : le groupe symétrique de degré n, contenant les n! permutations de n objets.

• A_n : le groupe alterné de degré n, contenant les n!/2 permutations paires de n objets.

• Dic_n : le groupe dicyclique (en) d'ordre 4n (généralisant les groupes de quaternions Q_4n).

La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; G désigne le produit direct de n copies du groupe G. G $⋊$ H désigne un produit semi-direct où H agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).

Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques Z_n, avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.

Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.

La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.

Les groupes abéliens finis ont une classification simple : ils sont cycliques, ou produits directs de groupes cycliques. Voir l'article détaillé Groupes abéliens.

Ordre	Groupe	Sous-groupes	Propriétés	Graphe des cycles
1	groupe trivial = Z1 = S1 = A2	-	de nombreuses propriétés triviales
2	Z2 = S2 = D1	-	simple, plus petit groupe non trivial
3	Z3 = A3	-	simple
4	Z4	Z2

groupe de Klein = Z2 × Z2 = D2

Z2 (3)

plus petit groupe non cyclique

5	Z5	-	simple
6	Z6 = Z3 × Z2	Z3 , Z2
7	Z7	-	simple
8	Z8	Z4 , Z2

Z4 × Z2	Z2, Z4 (2), Z2 (3)
Z2	Z2 (7) , Z2 (7)	les éléments autres que l'identité correspondent aux points du plan de Fano (en) (le plus petitplan projectif fini), les Z2 × Z2 sous-groupes aux droites de ce plan

9	Z9	Z3

Z3

Z3 (4)

10	Z10 = Z5 × Z2	Z5 , Z2
11	Z11	-	simple
12	Z12 = Z4 × Z3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2

Z6 × Z2 = Z3 × Z2

Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z2

13	Z13	-	simple
14	Z14 = Z7 × Z2	Z7 , Z2
15	Z15 = Z5 × Z3	Z5 , Z3
16	Z16	Z8 , Z4 , Z2

Z2	Z2 (15) , Z2 (35) , Z2 (15)
Z4 × Z2	Z2 (7) , Z4 (4) , Z2 (7) , Z2, Z4 ×Z2 (6)	ce groupe a le même graphe des cycles que celui engendré par les matrices de Pauli (mais ne lui est pas isomorphe)
Z8 × Z2	Z2 (3) , Z4 (2) , Z2, Z8 (2) , Z4 × Z2
Z4	Z2 (3), Z4 (6) , Z2, Z4 × Z2 (3)

On ne connait pas de classification complète des groupes non-abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit et Thompson) ; le plus petit est le groupe A₅, d'ordre 60. Le plus petit groupe non abélien d'ordre impair est le groupe de Frobenius F₂₁, d'ordre 21.

Ordre	Groupe	Sous-groupes	Propriétés	Graphe des cycles
6	S3 = D3	Z3 , Z2 (3)	plus petit groupe non-abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral
8	D4	Z4, Z2 (2) , Z2 (5)	groupe des symétries du carré

groupe des quaternions = Q8 = Dic2

Z4 (3), Z2

plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe non abélien dont tous les sous-groupes sont normaux

10	D5	Z5 , Z2 (5)	groupe des symétries du pentagone régulier
12	D6 = D3 × Z2	Z6 , D3 (2) , Z2 (3) , Z3 , Z2 (7)	groupe des symétries de l'hexagone régulier

A4	Z2 , Z3 (4) , Z2 (3)	plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow)
Dic3 = Z3 $⋊$ Z4	Z2, Z3, Z4 (3), Z6

14	D7	Z7, Z2 (7)	groupe des symétries de l'heptagone régulier
16	D8	Z8, D4 (2), Z2 (4), Z4, Z2 (9)	groupe des symétries de l'octogone régulier

D4 × Z2	D4 (2), Z4 × Z2, Z2 (2), Z2 (11), Z4 (2), Z2 (11)
groupe de quaternions généralisé Q16 = Dic4
Q8 × Z2		groupe hamiltonien
Le groupe quasidiédral (en) d'ordre 16
Le groupe modulaire (en) d'ordre 16
Z4 $⋊$ Z4
Le groupe engendré par les matrices de Pauli		ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe Z4 × Z2, mais ne lui est pas isomorphe
G4,4 = Z2 $⋊$ Z4