Octogone

Un octogone (du grec octo = huit et gonia = angle) est un polygone possédant huit côtés.

Propriétés

Un octogone régulier est un octogone dont les huit côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même valeur.

• L'angle interne entre deux côtés consécutifs d'un octogone régulier vaut 3π/4, soit 135° ; la somme de tous les angles internes est égale à 6π, soit 1 080°.
• Pour un octogone régulier dont la longueur des côtés est a :
• Le rayon du cercle circonscrit à l'octogone est $R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{8}}=\frac{a}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\simeq 1.3066a$.
• Le rayon du cercle inscrit à l'octogone est $r=\frac{(1+2\cos (\frac{\pi }{4}))}{2}\times a=\frac{a}{2}\cot \left(\frac{\pi }{8}\right)\simeq 1.2071a$.
• Le périmètre de l'octogone est égal à P = 8a.
• L'aire de l'octogone est égale à $A=2a^2\cot \frac{\pi }{8}=2(1+\sqrt{2})a^2\simeq 4.82843a^2$ (cot est ici la fonction cotangente). Elle vaut également $2R^2\sqrt{2}$ et $8r^2(\sqrt{2}-1)$.

Construction

L'octogone régulier est un polygone régulier possédant 8 côtés, soit 2 côtés. D'après le théorème de Gauss-Wantzel, il est constructible à la règle et au compas. La construction suivante est possible :

• 1 : tracer une droite.
• 2 : tracer un cercle dont le centre est situé sur la droite.
• 3 : tracer un arc de cercle dont le centre est situé à l'intersection de la droite et du cercle précédent, de même rayon celui-ci.
• 4 : tracer une droite passant par les deux points où les cercles se coupent.
• 5 : tracer un arc de cercle ayant pour centre l'intersection des deux droites et passant par le centre du premier cercle.
• 6 : tracer une droite passant par l'intersection de la dernière droite et du dernier cercle, et par le centre du cercle tracé en 2.
• 7 : l'intersection avec le cercle donne la distance à reporter pour chaque côté de l'octogone
• 8 à 10 : reporter les côtés.
• 11 à 18 : tracer l'octogone.

Plusieurs monuments furent construits selon un plan octogonal, parmi lesquels la tour des Vents à Athènes (Ier ou II siècle av. J.-C.), le dôme du Rocher à Jérusalem (VII siècle), ou encore Castel del Monte en Apulie, conçu par l'empereur Frédéric II du Saint-Empire au XIII siècle. Castel del Monte offre la particularité de se présenter comme un château octogonal flanqué de huit tours octogonales.

La tour des Vents d'Athènes a inspiré celle d'autres monuments : la Torre del Marzocco à Livourne (XV siècle), l'observatoire Radcliffe à Oxford (XVIII siècle), le mausolée de Panayis Vagliano, fondateur de la Bibliothèque nationale de Grèce (West Norwood Cemetery, Londres), ou la tour des Vents de Sébastopol édifiée en 1849.

Pour les alchimistes l'octogone est le parfait mélange entre le carré(l'humain) et le cercle(le divin).