Loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart, nommée en l'honneur des physicien français Jean-Baptiste Biot et Félix Savart, datant de 1820, donne le champ magnétique créé par une distribution de courants continus. Elle constitue l'une des lois fondamentales de la magnétostatique, au même titre que la loi de Coulomb pour l'électrostatique.

Un circuit filiforme est une modélisation où le fil électrique est un objet purement linéique. C'est une idéalisation d'un fil réel dont la longueur serait très supérieure aux dimensions transverses de sa surface de section.

Loi de Biot et Savart

Soit C la courbe géométrique représentant le circuit filiforme, et soit r' un point de cette courbe C. On note dl le vecteur déplacement élémentaire tangent à la courbe C au point r'. Dans le vide, le circuit parcouru par un courant continu d'intensité I crée en tout point r extérieur à C le champ magnétique B(r) donné par la formule

$\vec{B}(\vec{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_C\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\wedge (\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}{|}^3}$,

où μ est une constante fondamentale, appelée perméabilité magnétique du vide.

Remarque sur une notation

On dit parfois que l'« élément infinitésimal » de longueur dl, situé au point r' et parcouru par le courant I crée le « champ magnétique élémentaire » dB au point r, où

$\mathrm{d}\vec{B}(\vec{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\wedge (\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}{|}^3}$.

Il importe de bien comprendre qu'il s'agit là d'un abus de langage mathématiquement commode pour poser le paramétrage de l'intégrale. En effet, le courant d'intensité I ne peut circuler que dans le circuit fermé complet C, et seule l'intégrale complète possède un sens physique.

Densité surfacique de courant

Dans le cas d'une densité surfacique de courant j existant sur la surface Σ, le champ magnétique créé s'écrit

$\vec{B}(\vec{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\iint }_{\sigma }\frac{{\vec{j}}_{\mathrm{S}}(\overrightarrow{r^{\prime }})\wedge (\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}{|}^3}\mathrm{d}\Sigma$.

Densité volumique de courant

Dans le cas d'une densité volumique de courant j existant sur le volume V, le champ magnétique créé s'écrit

$\vec{B}(\vec{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\iiint }_V\frac{\vec{j}(\overrightarrow{r^{\prime }})\wedge (\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}{|}^3}\mathrm{d}\tau$.

En intégrant la loi de Biot et Savart sur une boucle fermée Γ quelconque (qui a priori n'est pas un circuit électrique), on démontre le théorème d'Ampère :

${\oint }_{\Gamma }\vec{B}(\overrightarrow{r^{\prime }})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r^{\prime }}={\mu }_0{I}_{\mathrm{i}nt}$,

où I est l'intensité algébrique enlacée par la courbe Γ.

En remarquant qu'une particule ponctuelle située en r', de charge électrique q animée d'une vitesse v correspond à un courant : j = q v δ(r - r'), où δ est la fonction de Dirac, la loi de Biot et Savart suggère d'écrire que cette charge (en mouvement) au point r' crée un champ magnétique au point r donné par

$\vec{B}(\vec{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\vec{v}\wedge (\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}{|}^3}$.

Attention, cette expression est en réalité une approximation, qui n'est valide que pour des vitesses vf très petites devant la vitesse de la lumière c. L'expression exacte du champ magnétique créé par une charge en mouvement est donnée par la formule de Liénard-Wiechert.

La loi de Biot et Savart est utilisée pour calculer la vitesse induite par des lignes de vortex en aérodynamique. En effet, une analogie avec la magnétostatique est possible si l'on admet que la vorticité correspond au courant, et la vitesse induite à l'intensité du champ magnétique.

Pour une ligne de vortex de longueur infinie, la vitesse induite est donnée par :

$v=\frac{\Gamma }{4\pi d}$,

où Γ est l'intensité du vortex et d la distance perpendiculaire entre le point et la ligne de vortex. Pour une ligne de vortex de longueur finie, on a

$v=\frac{\Gamma }{8\pi d}\left[\cos A-\cos B\right]$,

où A et B sont les angles (orientés) entre la ligne et les deux extrémités du segment.

• John David Jackson, Électrodynamique classique « trad. de (en)Classical Electrodynamics »