Loi triangulaire

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Introduction

En théorie des probabilités, une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de son minimum à son mode et de son mode à son maximum. Elle est mentionnée sous deux versions : une loi discrète et une loi continue.

Version discrète

La loi triangulaire discrète de paramètre entier positif a est définie pour tout entier x compris entre − a et a par :
$P (x) = \frac{a + 1 - ∣ x ∣}{( a + 1 ) ^{2}}$ .

Version continue

Triangulaire


Paramètres	$a : a \in (- \infty, \infty)$ $b : b > a$ $c : a \leq c \leq b$
Support	$a \leq x \leq b$
Densité de probabilité (fonction de masse)	${\frac{2 ( x - a )}{( b - a ) ( c - a )} pour a \leq x \leq c \frac{2 ( b - x )}{( b - a ) ( b - c )} pour c \leq x \leq b$
Fonction de répartition	${\frac{( x - a ) ^{2}}{( b - a ) ( c - a )} pour a \leq x \leq c 1 - \frac{( b - x ) ^{2}}{( b - a ) ( b - c )} pour c \leq x \leq b$
Espérance	$\frac{a + b + c}{3}$
Médiane (centre)	${a + \frac{( b - a ) ( c - a )}{2} pour c \geq \frac{b - a}{2} b - \frac{( b - a ) ( b - c )}{2} pour c \leq \frac{b - a}{2}$
Mode	$c$
Variance	$\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - ab - a c - b c}{18}$
Asymétrie (statistique)	$\frac{2 ( a + b - 2 c ) ( 2 a - b - c ) ( a - 2 b + c )}{5 ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - ab - a c - b c ) ^{\frac{3}{2}}}$
Kurtosis (non-normalisé)	$- \frac{3}{5}$
Entropie	$\frac{1}{2} + ln (\frac{b - a}{2})$
Fonction génératrice des moments	$2 \frac{( b - c ) e ^{a t} - ( b - a ) e ^{c t} + ( c - a ) e ^{b t}}{( b - a ) ( c - a ) ( b - c ) t ^{2}}$
Fonction caractéristique	$- 2 \frac{( b - c ) e ^{ia t} - ( b - a ) e ^{i c t} + ( c - a ) e ^{ib t}}{( b - a ) ( c - a ) ( b - c ) t ^{2}}$

Caractérisation

La loi triangulaire continue sur le support [a;b] et de mode c est définie par la densité suivante sur [a,b] :

f : x \mapsto {\frac{2 ( x - a )}{( b - a ) ( c - a )} si a \leq x \leq c \frac{2 ( b - x )}{( b - a ) ( b - c )} si c \leq x \leq b 0 sinon

Dans de nombreux domaines, la loi triangulaire est considérée comme une version simplifiée de la Loi bêta.

Liens avec la loi uniforme

Soit X₁,X₂ deux variables indépendamment et identiquement distribuées selon une loi uniforme standard. Alors:

La distribution de la moyenne $Y := \frac{X _{1} + X _{2}}{2}$ est une loi triangulaire de paramètres a=0, b=1 et c = ½;
La distribution de l'écart absolu Z: = | X₁ − X₂ | est aussi distribué selon une loi triangulaire de paramètres a=0, b=1 et c =0.