Loi bêta

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Introduction

Beta


Paramètres	α > 0 forme (réel) β > 0 forme (réel)
Support	$x \in [0; 1]$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{x ^{α - 1} ( 1 - x ) ^{β - 1}}{B ( α , β )}$
Fonction de répartition	$I_{x} (α, β)$
Espérance	$\frac{α}{α + β}$
Mode	$\frac{α - 1}{α + β - 2}$ pour α > 1,β > 1
Variance	$\frac{α β}{( α + β ) ^{2} ( α + β + 1 )}$
Asymétrie (statistique)	$\frac{2 ( β - α ) α + β + 1}{( α + β + 2 ) α β}$
Kurtosis (non-normalisé)	see text
Entropie	see text
Fonction génératrice des moments	$1 + \sum_{k = 1}^{\infty} (\prod_{r = 0}^{k - 1} \frac{α + r}{α + β + r}) \frac{t ^{k}}{k !}$
Fonction caractéristique	$_{1} F_{1} (α; α + β; i t)$

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur [0,1], paramétrisée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β. C'est un cas spécial de la distribution de Dirichlet, avec seulement deux paramètres.

Caractérisation

Fonction de densité

La densité de probabilité de la loi bêta est:

f (x; α, β) = \frac{x ^{α - 1} ( 1 - x ) ^{β - 1}}{\int _{0}^{1} u ^{α - 1} ( 1 - u ) ^{β - 1} d u}

= \frac{Γ ( α + β )}{Γ ( α ) Γ ( β )} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}

= \frac{1}{B ( α , β )} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}

où Γ est la fonction gamma. La fonction bêta, B, apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.

Fonction de répartition

La fonction de répartition est

F (x; α, β) = \frac{B _{x} ( α , β )}{B ( α , β )} = I_{x} (α, β)

où B_x(α,β) est la fonction bêta incomplète et I_x(α,β) est la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés

Moments

L'espérance et la variance d'une variable aléatoire bêta de paramètres α et β sont donnés par la formule:

E (X) = \frac{α}{α + β} Var (X) = \frac{α β}{( α + β ) ^{2} ( α + β + 1 )}

L'asymétrie est

\frac{2 ( β - α ) α + β + 1}{( α + β + 2 ) α β} .

Le coefficient d'aplatissement (ou encore kurtosis) est:

6 \frac{α ^{3} - α ^{2} ( 2 β - 1 ) + β ^{2} ( β + 1 ) - 2 α β ( β + 2 )}{α β ( α + β + 2 ) ( α + β + 3 )} .

Formes

La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres:

$α < 1, β < 1$ est en forme de U (graphe rouge);
$α < 1, β \geq 1$ ou $α = 1, β > 1$ est strictement décroissant (graphe bleu);
$α = 1, β > 2$ est strictement convexe;
$α = 1, β = 2$ est une droite;
$α = 1, 1 < β < 2$ est strictement concave;
$α = 1, β = 1$ est la loi uniforme continue;
$α = 1, β < 1$ ou $α > 1, β \leq 1$ est strictement croissant (graphe vert);
$α > 2, β = 1$ est strictement convexe;
$α = 2, β = 1$ est une droite;
$1 < α < 2, β = 1$ est strictement concave;
$α > 1, β > 1$ est unimodal (graphes noir et violet).

Qui plus est, si α = β alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).

Estimation des paramètres

Soit la moyenne empirique

\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{N} i = 1 \sum N x_{i}

v = \frac{1}{N} i = 1 \sum N (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}

la variance. La méthode des moments fournit les estimations suivantes:

α = \overset{x}{ˉ} (\frac{x ˉ ( 1 - x ˉ )}{v} - 1),

β = (1 - \overset{x}{ˉ}) (\frac{x ˉ ( 1 - x ˉ )}{v} - 1) .

Distributions associées

Si X a une distribution bêta, alors T=X/(1-X) est distribué selon la distribution bêta du second type;
La loi Beta(1,1) est identique à la Loi uniforme continue;
Si X et Y sont indépendamment distribués selon une loi Gamma, de paramètres (α, θ) et (β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) est distribué selon une loi Beta(α,β);
Si $X \sim U (0, 1]$ selon une loi uniforme, alors $X^2 \sim {\rm Beta}(1/2,1) \$ .
La k-ème statistique d'ordre d'un n-échantillon de lois uniformes $U (0, 1]$ suit la loi ${\rm Beta}(k,n-k+1) \$ .