Métrique riemannienne

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Introduction

Les métriques riemanniennes sont les objets d'étude de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Helmholtz publie des résultats analogues.

Les métriques riemanniennes sont des collections différentiables de formes quadratiques définies positives :

Sur un fibré vectoriel $E \to M$ , une métrique riemannienne g = g_x est la donnée d'un produit scalaire g_x sur la fibre E_x qui dépende de manière lisse du point de base $x \in M$ . Plus formellement, $x \mapsto g_{x}$ est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel des formes bilinéaires symétriques $S^{2} E \to M$ . On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.

Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g'), un morphisme de fibrés riemanniens $f : (E, g) \to (F, g^{'})$ est un morphisme de fibré $f : E \to F$ tel que, pour tout $x \in M$ , l'application linéaire $f_{x} : E_{x} \to F_{x}$ est une isométrie linéaire, id est :

\forall v, w \in E_{x}, g_{x}^{'} (f_{x} (v), f_{x} (w)) = g_{x} (v, w)

Si M est une variété différentielle (de dimension n), une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne g sur le fibré tangent $T M \to M$ . La donnée (M,g) est une variété riemannienne.

Etant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g'), une isométrie $F : (M, g) \to (N, g^{'})$ est une application différentiable $F : M \to N$ telle que l'application tangente $d F : (T M, g) \to (T N, g^{'})$ est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette derniere condition se reecrit :

F g = g

Exemples

Tout produit scalaire < , > sur R induit sur tout fibré vectoriel trivial $M \times R^{n} \to M$ une métrique riemannienne :

g_x((x,v),(x,w)) = < v,w >

Soit g une métrique riemannienne sur $E \to M$ . Pour une fonction différentiable $ψ : P \to M$ , il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière $ψ^{*} E \to P$ une unique métrique riemannienne ψ g telle que le morphisme naturel $ψ^{*} E \to E$ soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.
Si g est une métrique riemannienne sur $E \to M$ , alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel $F \subset E$ .

Existence

Sur tout fibré vectoriel $π : E \to M$ , il existe une métrique riemannienne.

Sur toute variété différentielle M, il existe une métrique riemannienne.