Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel
Naissance	5 août 1802 Frindoë (Norvège)
Décès	6 avril 1829 (à 26 ans) Oslo (Norvège)
Nationalité	Norvège
Champs	mathématicien

Niels Henrik Abel (né le 5 août 1802 à Frindoë près de Stavanger et mort le 6 avril 1829 (à 26 ans) à Christiania, aujourd'hui Oslo) est un mathématicien norvégien. Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques, des suites et séries de fonctions, les critères de convergence d'intégrale généralisée, sur la notion d'intégrale elliptique ; en algèbre, sur la résolution des équations.

Abel, cadet d'une famille de sept enfants, passa ses premières années dans un pays frappé par la famine du fait du blocus continental, Napoléon ayant contraint les couronnes de Norvège et de Danemark à rejoindre sa coalition contre l'Angleterre. Son père, Sören Georg Abel, éduqua lui-même ses deux fils aînés jusqu'en 1815, puis les envoya au collège paroissial d'Oslo. Dans ce lycée, le latin, le grec et la religion étaient enseignés à l'ancienne, avec punitions et châtiments corporels. La situation évolua en 1817 à la suite du renvoi d'un professeur consécutif au décès d'un élève : le lycée recruta un jeune enseignant ouvert aux idées nouvelles et instruit de mathématiques, Bernt Michael Holmboe.

Holmboe enseignait la mécanique céleste d'après Newton et Lalande. Découvrant l'intérêt de Niels Henrik pour les mathématiques, il lui obtint une bourse pour étudier à l'université (1820). Abel fréquenta cet établissement jusqu'en 1823. À la fin de cette année-là, il démontra que l'équation quelconque de degré cinq n'est pas résoluble à partir de combinaisons de racines des coefficients. Ces travaux suffirent à convaincre les responsables de l'université de financer un séjour d'Abel à Paris, où il pourrait rencontrer, et peut-être même travailler avec Cauchy. Au cours de 1824, Abel étudia donc l'allemand et le français.

Holmboe a rencontré Niels Henrik Abel à l'École Cathédrale de Christiania, alors que ce dernier était encore un élève. Holmboe s'est rapidement aperçu du talent d'Abel, le désignant de « remarquable génie » sur son bulletin scolaire. Sur le carnet scolaire d'Abel d'après l'examin de fin d'année de juin 1820, Holmboe avait même écrit que « Au génie le plus extraordinaire, il allie une ardeur inextinguible et un intérêt pour les mathématiques qui feront de lui certainement, s'il vit, un grand mathématicien ». Comme l'établissement se concentrait alors principalement sur la littérature antique et le latin, Holmboe a commencé à donner des cours particuliers à Abel. Il lui conseilla la lectures des œuvres de Lacroix, Euler, Francœur, Gauss, Poisson et Lagrange. Son implication personnelle envers Abel est souvent décrite comme son « principal apport aux mathématiques ».

Holmboe et Abel sont devenus des amis proches. Deux des petits frères de Holmboe ont fait leurs études avec Abel, et les trois étaient également amis. Abel a été invité à la résidence de la famille Holmboe à plusieurs reprises, y compris pour fêter Noël.

Abel meurt de la tuberculose en 1829, à l'âge de vingt-six ans. C'est Holmboe qui a été chargé de rédiger l'hommage officiel de la Norvège. Dix ans après la mort d'Abel, Holmboe a édité et publié ses travaux en deux volumes, sous le nom d’Œuvres complètes de N.H. Abel. Il a été le premier à faire un tel geste.

Au cours de l'été 1825, il partit pour Copenhague et de là arriva à Altona, où il rencontra l'astronome Heinrich Christian Schumacher, ami de Gauss. L'hiver suivant, il est à Berlin où il fait la connaissance de Crelle, qui sollicite sa collaboration pour un nouveau journal de mathématiques : le Journal de Crelle. En l'espace de quatre mois (novembre 1825-février 1826), Abel rédige six articles, dont :

• Beweis der Unmöglichkeit der algebraischen Auflösbarkeit der allgemeinen Gleichungen, qui contient la preuve de l'impossibilité de l'équation du cinquième degré par radicaux ;
• Über die binomische Reihe, où se trouve énoncé et démontré le critère de sommabilité d'Abel sur les séries semi-convergentes.

En mars 1826, Abel quitte Berlin et par Freiberg, Dresde, Vienne et Venise, rejoint Paris, but de son voyage, au mois de juillet.

Encore inconnu, Abel ne parvient pas à entrer en contact avec les mathématiciens dont il a lu les livres, Adrien-Marie Legendre, Siméon Denis Poisson et Augustin Louis Cauchy. Au sujet de ce dernier, il écrit à Holmboë : « Cauchy cultive l'extravagance, il est impossible de s'entendre avec lui, et pourtant il est celui qui sait le mieux comment il faut faire des mathématiques ». Pour se faire reconnaître, Abel dépose à la fin du mois d'octobre auprès de l'Académie des sciences un mémoire intitulé Recherches sur une propriété générale d'une classe très large de fonctions transcendantes. Ce travail aboutit à une formule générale pour additionner deux intégrales elliptiques. Le rapporteur désigné, Cauchy, impressionné par la longueur du mémoire et la technicité du contenu, en remet la lecture à plus tard. Dans l'attente d'une invitation qui ne viendra pas, Abel peut lire une nouvelle édition augmentée du Traité des fonctions elliptiques de Legendre. Il rédige deux articles pour le Journal de Crelle intitulés Recherche sur les fonctions elliptiques publiés en 1827 et 1828. Lassé et à court d'argent, il quitte finalement Paris en décembre 1826.

De retour à Christiana, Abel ne peut obtenir de poste stable à l'université, et doit accepter un travail de répétiteur dans une académie militaire récemment créée. Quelques mois seulement après son retour, il contracte la tuberculose. C'est à ce moment que Jacobi publie ses premiers résultats sur les intégrales elliptiques : d'abord un théorème sur les transformations rationnelles dans ces intégrales, puis une formule d'inversion. En mai 1828, Abel généralise le résultat de Jacobi sur les transformations rationnelles. Ce dernier est enthousiaste et fait à Legendre l'éloge d'Abel.

À la fin de 1828, l'état de santé d'Abel se dégrade rapidement et il ne peut plus écrire. Il meurt le 6 avril suivant.

Abel est à l'origine de la notion de nombre algébrique (solution d'une équation polynomiale à coefficients rationnels). Il a aussi laissé de nombreux résultats sur les séries et les fonctions elliptiques. Abel reçut à titre posthume le grand prix de mathématiques de l'Institut de France en 1830. Il a donné son nom au prix Abel.