Puissance de deux

En mathématiques, une puissance de deux est n'importe quel entier positif mis en exposant du nombre deux ; en d'autres mots, deux fois lui-même un certain nombre de fois. Un est une puissance (la puissance zéro) de deux. Écrite en binaire, une puissance de deux est toujours de la forme 10000…0, comme une puissance de dix dans le système décimal.

Comme deux est la base du système binaire, les puissances de deux sont importantes en informatique. De manière plus précise, deux à la puissance n est le nombre de façons dont les bits dans un entier binaire de longueur n peuvent être arrangés, et ainsi ces nombres représentent une puissance de deux moins un dénotent la limite supérieure des entiers s'ils sont interprétés en tant qu'entiers sans signe (représenter la puissance de 2 elle-même (sans le -1) demanderait un bit de plus).

Les nombres de cette forme apparaissent parfois dans les logiciels. Par exemple, dans le jeu vidéo The Legend of Zelda pour la console de jeu Nintendo 8 bits, on peut seulement travailler avec des nombres longs de 8 bits - le contenu d'un octet, utilisé pour stocker un nombre, donné par une valeur maximale de 2-1 = 255.

Les tailles de mémoire des ordinateurs utilisent aussi les puissances de 2. Un octet contient (2) bits, et un kilooctet contient 1 024 (2) octets. Presque tous les registres de processeurs ont des tailles qui sont des puissances de deux (on est actuellement en train d'entamer une transition de 32 à 64 sur les PC).

Les puissances de deux ont occupé une place dans les anciens lecteurs de disques : taille de secteur, nombre de secteur par piste, et/ou nombre de piste par surface étaient souvent des puissances de deux. Les disques avaient alors ce que l'on nommait une géométrie (nombre fixe de secteurs par piste), ce qui a fini par être abandonné au profit d'une densité d'enregistrement à peu près constante (davantage de secteurs vers l'extérieur) au prix d'un peu d'électronique additionnelle.

La taille du bloc logique est restée, pour des raisons historiques et de commodité de calcul, une puissance de deux.

On retrouve dans les résolutions vidéo des nombres qui ne sont pas des puissances de deux, mais sont souvent la somme ou le produit de deux ou trois puissances de deux, ou des puissances de deux moins un. Par exemple, 640 = 512 + 128, et 480 = 32 × 15, une résolution adaptée aux écrans de diagonale 14′′.

On nomme nombre premier de Mersenne un nombre premier de la forme $2^N-1$. Par exemple, le nombre premier 31, qui s'écrit sous la forme 32 (2) moins 1.

On peut aussi remarquer que le chiffre de l'unité est une suite (2,4,8,6) : 2 = 2, 2 = 4, 2 = 8, 2 = 16, 2 = 32, 2 = 64, ...

Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux, les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux.
Une courte liste de certaines d'entre-elles :

• 2 = 16 777 216, le nombre de couleurs uniques qui peuvent être affichées en couleurs vraies, qui est utilisée par la plupart des écrans d'ordinateur.

Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canaux RVB, avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.

• La somme des puissances de 2 est égale à la puissance de deux suivante moins un.

• Une puissance de deux est égale à la somme de toutes les puissances de deux inférieures plus un.

• Un entier est divisible par $2^n$ si et seulement si le nombre composé de ses $n$ derniers chiffres est divisible par $2^n$.

• Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.

• Une puissance de 2 peut s'écrire sous la forme $2^n$ (n supérieur ou égal à 0).

• Tout autre nombre s'écrit en produit de facteur premier 2^n*kl, k étant un nombre premier supérieur à 2 et l un entier naturel supérieur ou égal à 1, or tout nombre premier supérieur à 2 est un nombre impair.