Nombre premier de Mersenne

En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, un nombre premier de Mersenne est un nombre premier s'écrivant sous la forme 2 - 1, p étant premier. Ces nombres premiers doivent leur nom à un érudit et mathématicien français du XVII siècle, Marin Mersenne. Les nombres premiers de Mersenne sont, en base 2 (binaire), les répunits qui sont premiers.

Plus généralement, les nombres de Mersenne (pas nécessairement premiers, mais candidats à l'être) sont les nombres de la forme 2 - 1, avec p premier. On utilise la notation M_p = 2 - 1.

Les plus petits nombres premiers de Mersenne sont :

• 3 = 2-1
• 7 = 2-1
• 31 = 2-1
• 127 = 2-1
• Mais 2047 = 2-1 = 23 x 89 est un nombre de Mersenne, mais non premier.

On démontre qu'un entier de la forme 2-1 ne peut pas être premier si n n'est pas lui-même premier. Ainsi 2-1=15 n'est pas de Mersenne, ni premier.

Les nombres de Mersenne ont les propriétés suivantes :

• Si n n'est pas premier (par exemple le produit n = q**p où ni q, ni p n'est égal à 1) alors le nombre 2 − 1 n'est pas premier.

En effet, en remarquant que la suite des q premiers termes de la suite géométrique $(2^p{)}_{p\ge 0}$ est égale à:

$1+2^p+(2^p{)}^2+...+(2^p{)}^{q-1}=\frac{2^{qp}-1}{2^p-1}$, on prouve que $2^{qp}-1$ est divisible par $2^p-1$ qui est différent de 1 dès que p est également distinct de 1.

Remarque : on peut également utiliser la formule $1+2^q+(2^q{)}^2+...+(2^q{)}^{p-1}=\frac{2^{qp}-1}{2^q-1}$, pour prouver ce résultat.

Ainsi, lorsque l'on cherche des nombres premiers via les nombres de Mersenne, on sait déjà qu'il faut éviter les candidats comme $2^4-1$ (i.e. 15), $2^6-1$ (i.e. 63) ou $2^9-1$ (i.e. 511 = $7\times 73$).

L'idée est maintenant d'affuter les critères de sélection des nombres premiers $p$...

• M_n est la somme de coefficients binomiaux moins 1 : $M_n={\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)-1$ .

• Si a divise M_q (q premier) alors a possède les propriétés suivantes : $a\equiv 1[2q]$, et : $a\equiv \pm 1[8]$.

• Un théorème d'Euler entraîne que : M_q (q premier) est premier si et seulement s'il existe une unique paire (x,y) telle que : M_q = (2x) + 3(3y) avec q >= 5 . Très récemment, Bas Jansen a étudié M_q = x + d**y pour d=0,48 .

• Soit q = 3 (mod 4) premier. 2q + 1 est aussi premier si et seulement si : 2q+1 divise M_q.

• Reix a récemment montré que les nombres de Mersenne M_q (q premier > 3), premiers ou non, s'écrivent : M_q = (8x) − (3q**y) = (1 + S**q) − (D**q) . Évidemment, si la paire (x, y) est unique, alors M_q est premier.

• Ramanujan a montré que l'équation : M_q = 6 + x a seulement trois solutions où q est premier : 3, 5, et 7 (et deux solutions où q est non premier).

• Tous les facteurs premiers d'un nombre de Mersenne associé au nombre premier p sont de la forme kp+1 où k est un entier naturel. Deux nombres de Mersenne distincts sont toujours premiers entre eux.

Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres. C'est cette connexion qui a motivé historiquement l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le IV siècle av. J.-C., Euclide démontrait que si M = 2 - 1 est un nombre premier, alors M(M+1)/2 = 2(2 - 1) est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au XVIII siècle, Euler prouvait que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. Aucun nombre parfait impair n'est connu.

M_a divise M_p si a divise p. Donc pour que M_p soit premier, il faut que p soit premier. Cela simplifie déjà la recherche de nombres premiers de Mersenne. La réciproque n'est pas vraie: M_p peut être composé alors que p est premier ; le plus petit exemple est 2-1 = 23×89.

Pour les nombres de Mersenne il existe une méthode (comparativement) très rapide pour déterminer s'ils sont premiers, développée à l'origine par Lucas en 1878 et améliorée par Derrick Lehmer dans les années 1930. On peut effectivement montrer que pour un nombre premier p impair M_p = 2 − 1 est premier si et seulement si M_p divise S_{p − 1}, où S₁ = 4 et pour k > 1, $S_{k+1}=S_k^2-2$.

Mersenne n'a pas inventé les nombres de Mersenne, mais il a fourni une liste de nombres premiers de Mersenne jusqu’à l'exposant 257. Malheureusement cette liste était fausse : elle incluait par erreur 67 et 257, et omettait 61, 89 et 107.

Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne étaient connus dès l'Antiquité. Le cinquième (2-1) a été découvert avant 1461 par un inconnu. Les deux suivants ont été trouvés par Cataldi en 1588. Plus d'un siècle plus tard, en 1750, Euler en trouva encore un. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique) a été trouvé par Lucas en 1876, puis un par Pervushin en 1883. Deux autres ont été trouvés au début du XX siècle par Powers en 1911 et en 1914.

La recherche pour les nombres premiers de Mersenne fut révolutionnée par l'introduction des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen eut lieu à 22 heures le 30 janvier 1952 par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de Université de Californie - Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par R.M. Robinson.

C'était le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis 38 ans. Le suivant fut trouvé moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouva trois de plus dans les mois suivants.

En juin 2009, 47 nombres premiers de Mersenne étaient connus, le plus grand étant 2-1. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne »).

En juin 2010, 47 nombres premiers de Mersenne M_p=2-1 étaient connus.