Oscillateur harmonique quantique

Un oscillateur est un système périodique dans le temps. L'harmonicité indique que l'on considère le potentiel associé comme une parabole. Cette approximation est justifiée dans la plupart des cas, à condition que l'amplitude de l'oscillation ne soit pas trop élevée. C'est pour cela que le concept d'oscillateur harmonique joue un rôle majeur dans de nombreuses applications de la physique.
La mécanique quantique a révolutionné un grand nombre de concepts fondamentaux. L'oscillateur harmonique a aussi subi une reformulation dans ce cadre quantique, ce qui a permis d'élucider plusieurs résultats expérimentaux, notamment en physique de la matière condensée.

Un oscillateur harmonique classique à une dimension est modélisé par un potentiel parabolique, typiquement :

On prouve alors facilement qu'une particule de masse m dans ce potentiel a un mouvement sinusoïdal de pulsation ω.

Position du problème

Pour faire une étude quantique de ce type d'oscillateurs, il faut écrire l'opérateur hamiltonien correspondant :

où ${\hat{\text{p}}}_x$ est la composante sur l'axe x de l'opérateur impulsion de la particule.

Il faut alors résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps associée à cet hamiltonien :

$\hat{\text{H}}|\psi (x)⟩=E|\psi (x)⟩$ où E est l'énergie associée à une fonction d'onde $|\psi (x)⟩$.

On peut déjà formuler quelques remarques :

• Comme V est positif ou nul, alors les valeurs propres E seront positives ou nulles.
• Le confinement de la particule dans ce potentiel indique que le spectre de ces énergies sera discret.
• Le système ne fait apparaître qu'un seul degré de liberté, il y aura donc un seul nombre quantique.

Simplification de l'hamiltonien

Pour simplifier l'écriture de $\hat{\text{H}}$, on pose les opérateurs suivants :

$\hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{\text{H}}}{\hslash \omega },\hat{\text{P}}=\frac{{\hat{\text{p}}}_x}{\sqrt{m\hslash \omega }}$, et $\hat{\text{X}}=\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}\hat{\text{x}}$

($\hslash$ est la constante de Planck réduite).

Cela nous permet de réécrire l'hamiltonien sous la forme simple : $\hat{\mathcal{H}}=\frac{1}{2}\left({\hat{\text{X}}}^2+{\hat{\text{P}}}^2\right)$.

Remarques :

• $\left[\hat{\text{X}},\hat{\text{P}}\right]=\frac{1}{\hslash }\left[\hat{\text{x}},{\hat{\text{p}}}_x\right]=i\hat{\text{1}}$
• $\hat{\text{a}}$ n'est pas un opérateur hermitien $\left({\hat{\text{a}}}^{†}\ne \hat{\text{a}}\right)$.
• Cependant, on a le commutateur : $\left[\hat{\text{a}},{\hat{\text{a}}}^{†}\right]=\hat{\text{1}}$.
• On démontre facilement : $\hat{\text{X}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\hat{\text{a}}}^{†}+\hat{\text{a}}\right)$, $\hat{\text{P}}=i\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\hat{\text{a}}}^{†}-\hat{\text{a}}\right)$ et ${\hat{\text{a}}}^{†}\hat{\text{a}}=\frac{1}{2}\left({\hat{\text{X}}}^2+{\hat{\text{P}}}^2\right)-\frac{1}{2}$.

Calcul des valeurs propres

Les valeurs propres $\mathcal{E}$ de l'hamiltonien $\hat{\mathcal{H}}$ vérifient, par définition, l'équation : $\hat{\mathcal{H}}|\psi (t)⟩=\mathcal{E}|\psi (t)⟩$.
On développe plusieurs points :

• Les valeurs propres n de l'opérateur ${\hat{\text{a}}}^{†}\hat{\text{a}}$ sont positives ou nulles.
• Si n est une valeur propre associée au vecteur propre $|n⟩$, alors n − 1 est aussi valeur propre associée au vecteur $\hat{\text{a}}|n⟩$. Cela donne alors $\hat{\text{a}}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$.
• De même, ${\hat{\text{a}}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$.
• n doit être entier.

Les résultats précédents donnent alors :

Ainsi, les énergies accessibles par l'oscillateur sont quantifiées. Ce résultat a de nombreuses répercussions en physique statistique par exemple.

Calcul des états propres

1. On vérifie que pour l'état fondamental on a l'équation suivante : $\hat{\text{a}}|0⟩=0$
2. On repasse par la définition de a pour trouver $\left(\frac{m\omega }{\hslash }x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right){\Psi }_0(x)=0$
3. On résout cette équation différentielle : ${\Psi }_0(x)=C_0\exp \left(-\frac{m\omega x^2}{2\hslash }\right)$ En normalisant ce résultat, on trouve $C_0={\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{\frac{1}{4}}$ Les solutions étant proportionnelles entre elles, on en déduit que cet état fondamental est non dégénéré.
4. Une démonstration par récurrence montre que les états propres de ${\hat{\text{a}}}^{†}\hat{\text{a}}$ s'écrivent : $|n>=\frac{1}{\sqrt{n!}}{\left({\hat{\text{a}}}^{†}\right)}^n|0>$. Ce qui nous donne ${\Psi }_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}{\left(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x-\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)}^n{\Psi }_0(x)$

Cette dernière équation nous permet de retrouver explicitement autant de fonctions d'ondes que l'on désire. Par exemple pour $n=1$ on obtient :
${\Psi }_1(x)={\left(\frac{4}{\pi }{\left(\frac{m\omega }{\hslash }\right)}^3\right)}^{\frac{1}{4}}x\exp \left(-\frac{1}{2}\frac{m\omega }{\hslash }{x}^2\right)$

Représentation matricielle

• La matrice représentative de l'hamiltonien $\hat{\text{H}}$ sur la base des $|n⟩$ est, par construction, diagonale.

On a $\hat{\text{H}}=\hslash \omega \left(\begin{array}{ccccccccccccc}1/2& 0& 0& \cdots 0& 1+1/2& 0& \cdots 0& 0& 2+1/2& \cdots \cdots & \cdots & \cdots & \ddots \end{array}\right)$

• Sachant que ${\hat{\text{a}}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$, en multipliant à gauche par $|k⟩$ il vient ${\hat{\text{a}}}^{†}k,n=\sqrt{n+1}⟨k|n+1⟩=\sqrt{n+1}\delta k,n+1$

La matrice représentative de ${\hat{\text{a}}}^{†}$ sur la base des $|n⟩$ est donc ${\hat{\text{a}}}^{†}=\left(\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}0& 0& 0& 0& \cdots 1& 0& 0& 0& \cdots 0& \sqrt{2}& 0& 0& \cdots 0& 0& \sqrt{3}& 0& \cdots \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots \end{array}\right)$

Puisque $\hat{\text{a}}k,n={\hat{\text{a}}}^{†}n,k$, la matrice $\hat{\text{a}}$ est construite en transposant ${\hat{\text{a}}}^{†}$ : $\hat{\text{a}}=\left(\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}0& 1& 0& 0& \cdots 0& 0& \sqrt{2}& 0& \cdots 0& 0& 0& \sqrt{3}& \cdots 0& 0& 0& 0& \cdots \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots \end{array}\right)$

• Il est alors facile de construire les matrices représentatives des observables $\hat{\text{x}}$ et $\hat{\text{p}}$ puisque :

$\hat{\text{x}}=\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}\hat{\text{X}}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{\text{a}}+{\hat{\text{a}}}^{†}\right)$ et $\hat{\text{p}}=\sqrt{\hslash m\omega }\hat{\text{P}}=-i\sqrt{\frac{\hslash m\omega }{2}}\left(\hat{\text{a}}-{\hat{\text{a}}}^{†}\right)$

donc $\hat{\text{x}}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}0& 1& 0& 0& \cdots 1& 0& \sqrt{2}& 0& \cdots 0& \sqrt{2}& 0& \sqrt{3}& \cdots 0& 0& \sqrt{3}& 0& \cdots \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots \end{array}\right)$ et $\hat{\text{p}}=\sqrt{\frac{\hslash m\omega }{2}}\left(\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}0& -i& 0& 0& \cdots i& 0& -i\sqrt{2}& 0& \cdots 0& i\sqrt{2}& 0& -i\sqrt{3}& \cdots 0& 0& i\sqrt{3}& 0& \cdots \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots \end{array}\right)$

Interprétation

En analysant ces fonctions d'ondes, on retrouve de nombreux résultats classiques : la particule dans le puits de potentiel a une probabilité de présence plus élargie si elle a une énergie plus haute (une bille au fond d'un puits va monter plus haut sur les bords si elle a plus d'énergie), la particule a plus de chance de se retrouver sur ces positions éloignées du centre du puits (la bille a une vitesse d'autant plus petite qu'elle est haut dans le puits : elle va donc passer beaucoup plus de temps en hauteur qu'au fond du puits).

États cohérents

D'autres états présentent un intérêt physique. Voir à État cohérent.

Applications

Pour tous les calculs où des particules sont dans un puits de potentiel, l'approximation harmonique est très intéressante (en effet, on remarque que le développement limité à l'ordre 2 d'un puits nous donne une parabole). Par exemple si l'on souhaite étudier un "piège harmonique" à deux dimensions (condensation de Bose-Einstein à 2D) on pourra poser le hamiltonien suivant pour débuter l'étude: $\hat{\text{H}}=\left(\frac{\hat{\text{p}}{x}^2+\hat{\text{p}}{y}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\left({\hat{\text{x}}}^2+{\hat{\text{y}}}^2\right)\right)$

Ces calculs pour une seule dimension se généralisent très bien à 3 dimensions. L'hamiltonien est alors simplement sous la forme d'une somme de trois hamiltoniens indépendants, qui sont donc étudiables séparement exactement comme nous l'avons fait précédemment.

avec n = n_x + n_y + n_z : l'énergie dépend de trois nombres quantiques indépendants. Pour une même énergie, il va donc être possible d'imaginer des configurations différentes : les niveaux d'énergie sont dégénérés.

On calcule le nombre de dégénérescences pour le n-ième niveau d'énergie : $g_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Le modèle harmonique d'un puits de potentiel est certes une approche intéressante et finalement assez simple, mais pour étudier les écarts à l'harmonicité d'un système réel, il va falloir pousser le développement limité du potentiel à un ordre supérieur. On introduit alors un terme perturbatif W dans l'hamiltonien puis, à l'aide de la théorie des perturbations stationnaires, on va calculer les nouvelles énergies du système.

Terme en x

Si l'on pousse le développement limité du potentiel à l'ordre 3, on obtient le terme perturbatif suivant par rapport à l'oscillateur harmonique : $W=ϵ\hslash \omega X^3$ où ε est très petit par rapport à 1. Le mouvement de la particule dans un tel potentiel n'est plus tout à fait symétrique. Le calcul théorique des énergies donne alors : $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega -\frac{15}{4}{ϵ}^2{\left(n+\frac{1}{2}\right)}^2\hslash \omega -\frac{7}{16}{ϵ}^2\hslash \omega +...$

L'utilisation de la méthode des perturbations pour ce calcul impose un résultat approché (correction du deuxième ordre ici). On remarque alors que les niveaux d'énergie ont été abaissés par cette correction. Le calcul des nouvelles fonctions d'onde montre qu'elles sont formées par des couplages entre les anciennes : ${\Phi }_n(x)={\Psi }_n(x)+ϵ\left(-\alpha (n){\Psi }_{n+1}(x)+\alpha (n-1){\Psi }_{n-1}(x)-\beta (n){\Psi }_{n+3}(x)+\beta (n-3){\Psi }_{n-3}(x)\right)+...$

Application

Une molécule diatomique dans le modèle harmonique peut absorber et émettre des ondes électromagnétiques à la pulsation ω. Or dans la pratique, on observe d'autres raies absorbées ou émises : le modèle anharmonique permet de bien en rendre compte, puisque d'après la nouvelle expression des fonctions d'onde, deux états ${\Phi }_{n_1}$ et ${\Phi }_{n_2}$ peuvent etre reliés même si n₁ et n₂ différent de plus de 1. La constante ε peut ainsi être calculée dans cet exemple en analysant le spectre d'absorption.