Parallélisme (géométrie)

En géométrie affine, le parallélisme est une propriété relative aux droites, aux plans ou plus généralement aux sous-espaces affines. La notion de parallélisme a été initialement formulée par Euclide dans ses éléments, mais sa présentation a évolué dans le temps, passant d'une définition axiomatique à une simple définition.

Éléments d'Euclide

La notion de parallélisme existe déjà dans les éléments d'Euclide. Il est important de souligner que, pour Euclide, une droite s'apparente plutôt à un ségment.

• Définition 35 : Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre
• Proposition 27 : Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles
• Proposition 31 : Par un point donné, il passe au moins une parallèle à une droite donnée

Le postulat 5 Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits permet de prouver

• l'unicité de la parallèle à une droite donnée passant par un point donné.
• le proposition 29 : Si deux droites sont parallèles, toute droite coupant l'une et l'autre, forme avec celle-ci des angles alternes égaux.
• Propostition 30 : Deux droites distinctes parallèles à une même droite sont parallèles entre elles
• Proposition 32 : la somme des angles d'un triangle est égale à 180°
• Proposition 33: Deux droites qui joignent des mêmes côtés de droites parallèles et de même longueur sont parallèles et de même longueur (la figure tracée dans la proposition 33 est un parallélogramme))
• Proposition 34 : Les côtés opposés et les angles opposés dans un parallélogramme sont égaux, et la diagonale coupe le parallélogramme en deux triangles égaux.

Relation d'équivalence

En résumé, en acceptant de considérer des droites confondues comme parallèles, on peut voir que la relation de parallélisme est alors

• réflexive : une droite est parallèle à elle-même
• symétrique : Si une droite (d) est parallèle à une droite (d') alors la droite (d') est parallèle à la droite (d)
• transitive : : Si une droite (d) est parallèle à (d') et si (d') est parallèle à (d") alors (d) est parallèle à (d")

Ce qui permet de dire que la relation de parallélisme est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence sont les directions des droites.

En géométrie affine plane

Une droite est définie par un point et un vecteur directeur. Deux droites sont dites parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il apparait alors que deux droites confondues sont parallèles selon cette définition alors qu'elles ne l'étaient pas selon la définition d'Euclide. Deux droites distinctes parallèles sont alors appelées strictement parallèles.

Dans un espace affine de dimension 3

Dans un espace affine, deux plans sont définis par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires.

Deux plans sont parallèles si et seulement si les quatre vecteurs directeurs sont coplanaires. Dans un espace de dimension trois, deux plans sont ou bien parallèles (sans points commun ou confondus) ou bien sécants suivant une droite.

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si les trois vecteurs directeurs (les deux du plan et celui de la droite) sont coplanaires. Dans un espace de dimension 3, étant donnés une droite et un plan, ou bien la droite est parallèle au plan, ou bien la droite et le plan sont sécants suivant un point.

Dans un espace affine de dimension n

Un espace affine de dimension p est défini à l'aide d'un point et d'un sous-espace vectoriel de dimension p appelé direction de l'espace affine. Deux sous-espace affine de dimension p sont parallèles si et seulement si ils ont le même sous-espace vectoriel comme direction. Deux sous-espace affines parallèles sont disjoints ou confondus.

La relation de parallélisme reste une relation d'équivalence sur l'ensemble des sous-espaces affines de dimension p