Polynôme de Legendre

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Introduction

Les polynômes de Legendre sont des solutions de l'équation différentielle de Legendre, et constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux.

Équation de Legendre

On appelle équation de Legendre l'équation : $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x}] + n (n + 1) y = 0$

On définit ainsi le polynôme de Legendre P_n (pour tout entier naturel n) :

\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{d P _{n} ( x )}{d x}] + n (n + 1) P_{n} (x) = 0, P_{n} (1) = 1.

On a donc $P_{n} = P_{n}^{(0, 0)}$ , où $P_{n}^{(α, β)}$ désigne le polynôme de Jacobi d'indice n associé aux paramètres α et β.

Autres définitions

Formule de récurrence de Bonnet

$P_{0} (x) = 1, P_{1} (x) = x,$ et pour tout entier n>0

(n + 1) P_{n + 1} (x) = (2 n + 1) x P_{n} (x) - n P_{n - 1} (x) .

Formule de Rodrigues

On définit le polynôme P_n (pour tout entier naturel n) par :

P_{n} (x) = \frac{1}{n ! 2 ^{n}} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} ((x^{2} - 1)^{n})

Définition analytique

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa fonction génératrice :

\frac{1}{1 - 2 x z + z ^{2}} = n = 0 \sum \infty P_{n} (x) z^{n} .

Le théorème des résidus donne alors :

P_{n} (x) = \frac{1}{2 π i} \oint (1 - 2 x z + z^{2})^{- 1/2} z^{- n - 1} d z

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Définitions sous forme de somme

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n}} k = 0 \sum E (n /2) (- 1)^{k} (k n) (n 2 n - 2 k) x^{n - 2 k}

(on en déduit $P_{2 n} (0) = \frac{1}{2 ^{2 n}} (- 1)^{n} (n 2 n)$ )

P_{n} (x) = \frac{1}{2 ^{n}} k = 0 \sum n (k n)^{2} (x - 1)^{n - k} (x + 1)^{k}

Quelques polynômes

Les premiers polynômes sont :

$P_{0} (x) = 1$
$P_{1} (x) = x$
$P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)$
$P_{3} (x) = \frac{1}{2} (5 x^{3} - 3 x)$
$P_{4} (x) = \frac{1}{8} (35 x^{4} - 30 x^{2} + 3)$
$P_{5} (x) = \frac{1}{8} (63 x^{5} - 70 x^{3} + 15 x)$
$P_{6} (x) = \frac{1}{16} (231 x^{6} - 315 x^{4} + 105 x^{2} - 5)$
$P_{7} (x) = \frac{1}{16} (429 x^{7} - 693 x^{5} + 315 x^{3} - 35 x)$
$P_{8} (x) = \frac{1}{128} (6435 x^{8} - 12012 x^{6} + 6930 x^{4} - 1260 x^{2} + 35)$
$P_{9} (x) = \frac{1}{128} (12155 x^{9} - 25740 x^{7} + 18018 x^{5} - 4620 x^{3} + 315 x)$
$P_{10} (x) = \frac{1}{256} (46189 x^{10} - 109395 x^{8} + 90090 x^{6} - 30030 x^{4} + 3465 x^{2} - 63)$

Propriétés

Degré

Le polynôme P_n est de degré n.

Parité

Les polynômes de Legendre suivent la parité de n. On peut exprimer cette propriété par :

P_{n} (- x) = (- 1)^{n} P_{n} (x) .

(en particulier, P_n( − 1) = ( − 1) et P_{2n + 1}(0) = 0).

Orthogonalité

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1 : ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire < , > défini sur $R [X]$ par la relation :

$< P, Q >= \int_{- 1}^{+ 1} P (x) Q (x) d x$ .

< P_{m}, P_{n} >= \int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x = 0 pour m \neq = n

Norme

Le carrré de la norme, dans L([-1,1]), est

∣∣ P_{n} ∣ ∣^{2} = \frac{2}{2 n + 1} .

En effet, pour tout n>1, on peut établir la relation

P^{'} n + 1 - P^{'} n - 1 = (2 n + 1) P_{n},

dont on déduit (en utilisant que pour tout k, P'_{k − 1} est de degré k-2<k donc est orthogonal à P_k, et en effectuant une intégration par parties) :

< P_{n}, (2 n + 1) P_{n} >=< P_{n}, P^{'} n + 1 - P^{'} n - 1 >=< P_{n}, P^{'} n + 1 >= [P_{n} P n + 1] - 1^{1} - < P^{'} n, P n + 1 >= [P_{n} P n + 1]_{- 1}^{1} .

Comme P_nP_{n + 1} est impair et pour tout k, P_k(1) = 1, on aboutit ainsi à (2n + 1) | | P_n | | = 2.

Décomposition en série de polynômes de Legendre

Décomposition d'une fonction holomorphe

Toute fonction f, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformement à l'intérieur de l'ellipse:

f (x) = n = 0 \sum \infty λ_{n} P_{n} (x)

avec $\forall n \in N, λ_{n} \in C .$

Décomposition d'une fonction lipschitzienne

On note $\tilde{P_{n}}$ le quotient du polynôme P_n par sa norme.

Soit f une application continue sur [-1,1]. Pour tout entier naturel n on pose

c_{n} (f) = - 1 \int 1 f (x) \tilde{P}_{n} (x) d x,

Alors la suite $c_{n} (f)$ est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de f sur $R_{n} [X]$ :

S_{n} f = k = 0 \sum n c_{k} (f) \tilde{P}_{k} .

On a de plus :

$\forall x \in [- 1, 1], S_{n} f (x) = - 1 \int 1 K_{n} (x, y) f (y) d y$ , avec $K_{n} (x, y) = \frac{n + 1}{2} \frac{P ~ _{n + 1} ( x ) P ~ _{n} ( y ) - P ~ _{n + 1} ( y ) P ~ _{n} ( x )}{x - y};$
$S_{n} f (x) - f (x) = - 1 \int 1 K_{n} (x, y) (f (y) - f (x)) d y .$

Supposons de plus que f est une fonction lipschitzienne. On a alors la propriété supplémentaire :

\forall x \in] - 1, 1 [, n \to \infty lim S_{n} f (x) = f (x) .

autrement dit, l'égalité

f = n = 0 \sum \infty c_{n} (f) \tilde{P}_{n}

est vraie non seulement au sens L mais au sens de la convergence simple sur ]-1,1[.