Convergence simple

La convergence simple ou ponctuelle est un critère de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions. C'est un critère peu exigeant, en conséquence, en cas de convergence la convergence simple est souvent vérifiée. En revanche, le passage à la limite offre beaucoup moins de propriétés qu'une convergence plus forte comme la convergence uniforme.

Convergence simple

• Soient $X$ un espace topologique et $Y$ un espace topologique séparé.

Soit $(f_n{)}_n$ une suite de fonctions définies sur $X$ à valeurs dans $Y$. Enfin, soit $A\subset X$ une partie de $X$. On dit que la suite de fonctions $(f_n{)}_n$ converge simplement sur $A$ si :

$\forall x\in A$, la suite $(f_n(x){)}_n$ converge dans $Y$

• Si on note $f(x)={\lim }_{n\to +\infty }{f}_n(x)$ on dit alors que la suite de fonctions $(f_n{)}_n$ converge simplement sur $A$ vers la fonction $f$.

Remarque

Dans cette définition, on a supposé l'espace topologique $Y$ séparé. On peut justifier un tel choix par le fait que dans un espace séparé, si une suite d'éléments de cet espace converge alors nécessairement sa limite est unique (ce qui n'est pas le cas dans un espace topologique non-séparé).

L'unicité de la limite est donc une condition indispensable pour pouvoir définir la convergence simple d'une suite de fonctions vers une fonction.

Définition

Il existe une topologie associée à la convergence simple, on l'appelle en général topologie faible. Cette topologie est souvent définie à l'aide d'une base de voisinages. On la définit de la manière suivante:

Soit $f$ une fonction de $X$ dans $Y$ deux espaces topologiques tel que $Y$ soit séparé. Soit $x$ un élément de $X$ tel que $f$ soit définie en $x$. On considère alors $\mathcal{V}(f(x))$ une base de voisinage de $f(x)$ pour la topologie de $Y$. À chaque élément $V_{f(x)}$ de $\mathcal{V}(f(x))$ on associe le sous ensemble $W_{(f,x)}$ des fonctions $\varphi$ de $X$ dans $Y$ définies en $x$ et tel que $\varphi (x)$ soit élément de $V_{f(x)}$. L'union de tous les ensembles de type $W_{(f,x)}$ quand $f$ parcourt l'ensemble des fonctions et $x$ parcourt le domaine de définition de $f$ forment une base de voisinage. La topologie associée est appelée la topologie faible.

Remarques

Il est relativement simple de démontrer que la convergence simple d'une suite de fonctions $(f_n{)}_n$ est équivalent à la convergence pour la topologie faible de la suite.

Si $X$ n'est pas un ensemble fini, alors il n'existe pas de distance associée à cette topologie. Nous savons en effet que tout espace métrique est muni d'une topologie déduite. Cette topologie ne peut jamais être la topologie faible.

La topologie faible est un critère de convergence peu contraignant comme son nom l'indique. Il existe donc moins de propriétés que dans le cas de la convergence uniforme par exemple.

• La convergence uniforme implique la convergence simple. La démonstration découle directement des définitions. En revanche la réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.

• La convergence simple ne conserve pas la continuité, comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.

• Dans le cas où l'ensemble de départ est un espace mesurable et où l'ensemble d'arrivée est le corps des réels alors la convergence simple peut indiquer la convergence pour la norme L₁ avec l'ajout de certaines hypothèses décrites dans les articles Théorème de convergence monotone et Théorème de convergence dominée.

• Le résultat précédent est vrai uniquement dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue et non dans celui de Riemann.

On suppose maintenant que $Y$ est un espace métrique, c'est-à-dire que $Y$ est muni d'une distance $d$ et de la topologie qui lui est associée. On sait d'abord qu'un espace métrique est toujours séparé. On peut alors traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon »:

Une suite de fonctions $(f_n{)}_n$ converge simplement sur $A$ vers une fonction $f$ si et seulement si :