Projecteur (mathématiques)

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est un endomorphisme qu'on peut présenter de deux façons équivalentes

• c'est une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante,
• c'est aussi un endomorphisme idempotent : il vérifie p=p

On peut aussi définir, dans un espace de Hilbert, le projecteur sur un convexe fermé (notion métrique et non plus algébrique)

• c'est l'application qui a tout point de l'espace associe l'élément du convexe le plus proche de ce point
• dans le cas où le convexe est un sous-espace vectoriel fermé, on retrouve un cas particulier de projection au sens précédent : une projection orthogonale.

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : $x=x^{\prime }+x^{\prime \prime },(x^{\prime },x^{\prime \prime })\in F\times G$. La projection sur F parallèlement à G est alors l'application p qui associe à tout x de E le vecteur x' de F.

Propriétés

• p est linéaire

• Im p = F

• Ker p = G

• p**p=p

Identification des projecteurs et des projections

Définissons les projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant p=p. On vient de voir que toute projection est un projecteur. On prouve maintenant la réciproque.

Théorème de caractérisation des projecteurs

Tout projecteur de E est une projection, précisément la projection sur Im p parallèlement à Ker p. Notamment si p est un projecteur Im p et Ker p sont des sous-espaces supplémentaires.

• Démonstration :

• les deux espaces sont en somme directe : si x est dans leur intersection, x est de la forme p(y) et vérifie 0=p(x)=p(y)=p(y)=x.

• tout vecteur x de E se décompose, sous la forme (d'ailleurs unique) x = p(x) + [x − p(x)]

Le premier élément est dans Im p, le second dans Ker p.

Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q=Id-p, appelé aussi projecteur associé à p.

L'image de q n'est autre que le noyau de p, l'image de p est le noyau de q.

Un espace vectoriel E est somme directe de sous espaces vectoriels $E_1,\cdots ,E_n$ si et seulement si pour tout $i\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$ il existe des projecteurs ${\pi }_i:E\to E_i$ vérifiant : $I{d}_E={\pi }_1+\cdots +{\pi }_n$ et ${\pi }_i\circ {\pi }_j=0$ si $i\ne j$.

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s est l'identité (ne pas confondre avec endomorphisme symétrique).

• p est un projecteur si et seulement si 2p-Id est une symétrie vectorielle

La recherche des endomorphismes tels que p=p, ou que s=Id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u)=0 pour P polynôme et u endomorphisme, voir l'article polynôme d'endomorphisme pour des généralisations.

• Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si $Ker(p)=(Im(p){)}^{\perp }$. On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

En choisissant une base de l'espace qui soit la réunion d'une base du noyau et d'une base de l'image (ce qui est possible, car image et noyau sont supplémentaires), on obtient une représentation matricielle vérifiant les propriétés suivantes :

• Sur la diagonale apparaissent uniquement des "1" et des "0", et le nombre de "1" est égal au rang du projecteur ;
• Les autres coefficients sont nuls.