Propagation des ondes

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Introduction

La propagation des ondes est un domaine de la physique s'intéressant aux déplacements des ondes électromagnétiques dans les milieux. On distingue généralement deux catégories de propagation :

La propagation dans l'espace libre (vide, air, milieu massif comme le verre, etc.)
La propagation guidée (fibre optique, guide d'onde, etc.)

Équation d'onde

L'équation générale qui décrit la propagation d'une onde $E$ dans l'espace libre, dans un milieu homogène, linéaire et isotrope est :

$\nabla^{2} E = Δ E = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}$ (établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell)

$E$ décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel). C'est assimilable à la vitesse de propagation de l'onde, comme nous le verrons plus bas.

Si l'on s'intéresse à ce qui se passe pour chacune des composantes de $E$ (en projetant la relation dans chacune des directions de l'espace), nous obtenons une équation portant sur un scalaire, appelée équation de d'Alembert :

Δ U = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} U}{\partial t ^{2}}

Intéressons nous à la propagation selon la seule direction z :

\frac{\partial ^{2} U}{\partial z ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} U}{\partial t ^{2}}

Pour une onde plane, la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions :

U(z,t) = f(z − c**t) + g(z + c**t)

En effet, on peut écrire :

(\frac{\partial ^{2}}{\partial z ^{2}} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2}}{\partial t ^{2}}) U (z, t) = 0

soit :

(\frac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}) (\frac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}) U (z, t) = 0

Et si l'on pose a=z-ct et b=z+ct, on obtient :

(\frac{\partial}{\partial a}) (\frac{\partial}{\partial b}) U (a, b) = 0

Qui se résout en : U(a,b) = f(a) + g(b) soit U(z,t) = f(z − c**t) + g(z + c**t)

Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z croissants (appelée onde progressive), et le deuxième terme dans le sens des z décroissants (appelée onde régressive).

Vitesse de propagation

Il est intéressant de voir qu'en réalité, l'onde U(z,t) ne dépend pas simplement de z et de t, mais des quantités z − c**t et z + c**t. Pour comprendre ce que cela signifie, considérons le cas d'une onde plane progressive vers les z croissants :

U(z,t) = f(z − c**t)

Regardons la structure de l'onde au point z + Δz :

U (z + Δ z, t) = f (z + Δ z - c t) = f (z - c (t - \frac{Δ z}{c})) = f (z - c (t - Δ t))

L'expression ci-dessus nous montre que la structure de l'onde au point z + Δz est la même qu'au point z à l'instant t − Δt, avec Δt = Δz / c. Ce raisonnement nous permet de comprendre pourquoi une dépendance en $z \pm c t$ de l'onde signifie que celle-ci se déplace sans déformation, i.e qu'il s'agit d'une onde progressive.

Nous pouvons alors définir la vitesse de propagation de l'onde par :

\frac{Δ z}{Δ t} = c

Onde harmonique - période et fréquence

Une onde harmonique est une onde monochromatique dont l'expression est donnée dans notre cas par :

U (z, t) = U_{0} cos (ω (t - \frac{z}{c}))

La propriété essentielle de cette onde est sa double périodicité, spatiale et temporelle :

U (z, t + 2 \frac{π}{ω}) = U (z + 2 π \frac{c}{ω}, t) = U (z, t)

On définit alors les quantités suivantes :

La fréquence de l'onde ν = ω / 2π (ω est appelé pulsation)
La longueur d'onde λ = c / ν
Le nombre d'onde k = 2π / λ

À trois dimensions, le nombre d'onde est remplacé par le vecteur d'onde, dont le sens est celui de la propagation de l'onde.

Ondes progressives et ondes stationnaires

Il est d'usage dans la communauté scientifique de distinguer les ondes progressives des ondes stationnaires. Les ondes progressives, décrites précédemment, avancent dans l'espace.

Les ondes stationnaires, au contraire, oscillent sans se déplacer. Ainsi, elles ne dépendent plus du seul paramètre z − c**t, mais des paramètres d'espace z et de temps t de façon indépendante. Une expression simple d'une onde stationnaire harmonique à une dimension est la suivante :

U (z, t) = U_{0} cos (\frac{t}{T}) cos (\frac{z}{λ})

À un temps t fixé, une onde stationnaire ressemble à une onde progressive. En revanche, son évolution temporelle est totalement différente. Une onde stationnaire possède des minima (nœuds) et des maxima (ventres) d'amplitude fixes dans l'espace. Ainsi, si on se place aux nœuds de cette onde, l'amplitude est nulle quel que soit le temps. Avec une onde progressive, nous aurions vu l'amplitude évoluer, de façon sinusoïdale avec la temps dans le cas d'une onde harmonique.

Une façon simple de construire une onde stationnaire est de superposer deux ondes progressives se propageant en sens inverse. C'est d'ailleurs ce qui se passe lorsque une onde se réfléchit sur un miroir parfait.

Les ondes stationnaires sont des objets physiques très courants et se rencontrent notamment dans les cavités laser ou les lignes hyperfréquence.

Phénomènes affectant la propagation des ondes

Réflexion
Réfraction
Diffusion
Interférences
Diffraction

Plusieurs équations d'onde

Equation d'onde classique

L'équation d'onde classique correspond à une propagation non perturbée. Par exemple, corde vibrante sans frottement, onde électromagnétique dans le vide. Elle s'écrit Δs = 0

La relation de dispersion associée est $k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}}$

Équation de Klein-Gordon

C'est une équation du type $Δ s = \frac{s}{a ^{2}}$ .

On la rencontre en particulier pour la propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma.

Soit n la densité particulaire du plasma et m la masse de l'électron. On introduit la pulsation plasma

$ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}}$ ,

grandeur caractéristique du plasma.

L'équation de propagation du champ $E$ dans ce plasma est

$Δ E = \frac{ω _{p}^{2}}{c ^{2}} E$ .

La relation de dispersion associée est

k^{2} = \frac{ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{c ^{2}}

Remarque : on peut également rencontrer cette équation de dispersion dans le cadre de la propagation guidée. Par exemple, une onde guidée entre deux plans infinis et parfaitement conducteurs distants de a vérifie l'équation d'onde classique entre les deux conducteurs, mais la relation de dispersion s'écrit $k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} - \frac{π ^{2}}{a ^{2}}$

On rencontre également cette équation pour la propagation d'une onde mécanique : par exemple pour une série de pendules régulièrement espacés et reliés entre eux par des ressorts.

Equation des télégraphistes

Equation du type

Δ s = α + β \frac{\partial s}{\partial t}

On la rencontre dans le cas d'une onde dans une ligne électrique. Pour une ligne électrique de résistance linéique r, d'inductance linéique c, de conductance de fuite linéique g et de capacité linéique c, on a :

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - l c \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = (r c + l g) \frac{\partial u}{\partial t} + r g \cdot u

Cela traduit une propagation avec atténuation.

Relation de dispersion associée : k = l**cω + iω(r**c + l**g) − r**g

Equation de diffusion

Equation du type

\frac{\partial s}{\partial t} = D \nabla^{2} s

Le coefficient D est appelé coefficient de diffusivité.

On le rencontre typiquement dans deux cas :

L'équation de la chaleur $\frac{\partial T}{\partial t} = D Δ T$ , où le coefficient de diffusivité thermique D est défini par $D = \frac{λ}{ρ c}$
Propagation d'un champ électromagnétique dans un métal de conductivité γ. Equation d'onde : $\nabla^{2} B = μ_{0} γ \frac{\partial B}{\partial t}$ . Relation de dispersion : k = − iωμ₀γ. Il s'agit d'une propagation avec atténuation.