Système décimal

Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.

Le système décimal est largement le plus répandu. Ainsi sont constituées, par exemple, les numérations :

Les peuples ayant une base de numération décimale ont employé, au cours du temps, des techniques variées pour représenter les nombres. En voici quelques exemples.

• Avec des chiffres pour un, dix, cent, mille, etc.

Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les puissances de dix sont de type additif. C'est le cas de la numération égyptienne. Exemple : 1506 s'écrit

en écriture hiéroglyphique (1000+100+100+100+100+100+1+1+1+1+1+1).

• Avec des chiffres pour un, cinq, dix, cinquante, cent, cinq cents, etc.

De tels systèmes de numération sont aussi de type additif, mais font intervenir un système quinaire auxiliaire. C'est le cas des numérations attique, étrusque, romaine et tchouvache. Exemple : 2604 s'écrit MMDCIIII. en chiffres romains (1000+1000+500+100+1+1+1+1). La numération romaine connait également une variante additive et soustractive : 2604, de cette manière, s'écrit MMDCIV. (1000+1000+500+100-1+5).

• Avec des chiffres pour un, deux, ..., neuf, dix, vingt, ..., cent, deux cents, ..., neuf cents, etc.

Les systèmes de numération employant neuf chiffres pour les unités, ainsi que pour les dizaines, les centaines, etc. sont encore de type additif. C'est le cas des numérations arménienne, arabe alphabétique, gotique, grecque et hébraïque. Exemple : 704 s'écrit ψδ en chiffres grecs ioniques (700+4).

• Avec des chiffres de un à neuf, et pour dix, cent, mille, etc.

Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les unités et les puissances de dix sont de type hybride. C'est le cas des numérations chinoise et japonaise. Exemple : 41007 s'écrit 四万千七 dans le système japonais (4×10000+1000+7). Le système chinois utilise en plus le zéro pour indiquer des positions vides avant les unités : 41007, s'écrit 四萬千〇七 en chiffres chinois (4×10000+1000+0+7).

• Avec des chiffres de zéro à neuf

Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les unités sont de type positionnel. C'est le cas des numérations arabe non-alphabétique, européenne, de la plupart des numérations indiennes et des numérations mongole et thaï. Exemple : 8002 s'écrit ๘๐๐๒ en chiffres thaïs (8002).

La base dix est très ancienne. Elle découle d'un choix naturel, dicté par le nombre des doigts des deux mains. Les Proto-indo-européens comptaient probablement en base dix. Un système de notation décimale a été mis au point par :

• III millénaire av. J.-C., les Égyptiens . A noter toutefois que le système égyptien était un système décimal sans positionnement.

• avant -1350, les Chinois

• v. -650, les Étrusques

• v. -500, les Indusiens en sanskrit

• A noter que les anciennes civilisations de Mésopotamie (Sumer, Babylone,...) utilisaient un système positionnel de base sexagésimale (60).

• A noter également l'usage de systèmes proto-élamites mixtes, dit bisexagésimaux (binaire, décimal ou sexagésimal suivant la qualification des objets ou des êtres vivants à décompter).

• La civilisation maya utilisait un système de base 20 en introduisant quelques variantes.

Les numérations décimales utilisent parfois des bases auxiliaires :

• un système quinaire auxiliaire est utilisé dans certains systèmes de notation (voir plus haut) et pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme le wolof ;
• un système vigésimal auxiliaire est utilisé pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme en basque, ou « quatre-vingts » en français ;
• des bases mille et un million auxiliaires sont souvent utilisées pour l'énonciation des nombres dans les langues européennes, et une base mille dans l'écriture des grands nombres, afin d'en faciliter la lecture, comme, par exemple, 12 345 678, 12.345.678 ou 12,345,678, selon les pays ;
• en chinois et en japonais, une base dix mille auxiliaire est utilisée.

Certains autres systèmes utilisent un système décimal auxiliaire :

• la numération babylonienne et les systèmes de mesure du temps et des angles en minutes et secondes, sexagésimaux, utilisent un système décimal auxiliaire ;
• la numération maya, bien que vigésimale, laisse apparaitre un système décimal auxilaire dans l'énonciation des nombres.

En Chine les mesures de capacité et de poids sont décimalisées vers 170 av. J.-C. Aux États-Unis, le système monétaire est décimal en 1786. En Europe, la décimalisation des unités est initiée en France à partir du 22 août 1790, date à laquelle Louis XVI demande à l'Académie des Sciences de nommer une commission pour définir les poids et mesures. Cette dernière préconise la division décimale.

La plupart des langues vivantes décomposent les nombres en base 10 en raison de certains atouts de celle-ci :

• le compte sur les dix doigts est très intuitif ainsi que cela a été mentionné ci-dessus ;
• son ordre de grandeur est satisfaisant, car il permet de réduire considérablement la longueur d'un grand nombre par rapport à la base 2, tout en conservant des tableaux d'additions et de multiplications mémorisables.

Cependant, il a fallu attendre la généralisation de la notation positionnelle, et l'existence d'un algorithme de division adapté à cette notation pour que les unités de mesure perdent progressivement leurs sous-multiples non décimaux. Quand la livre comprenait en France 20 sous de 12 deniers (ou en Grande-Bretagne 20 shillings de 12 pence) les agents économiques appréciaient que cette unité pût être divisée de manière exacte par 20 diviseurs différents (y compris 1 et 240). En 1971, malgré l'informatique qui permet désormais de gérer facilement l'hétérogénéité de rapports non décimaux entre sous-multiples, la Grande-Bretagne n'a pourtant pas hésité à décimaliser sa monnaie.

Conversion en base N d'un nombre en base 10

Pour passer d'un nombre en base 10 à un nombre en base N, on peut appliquer la méthode suivante :

Soit K le nombre en base 10 à convertir en base N.

1. Effectuer la division entière de K par N. Soit D le résultat de cette division et R le reste
2. Si D >= N, recommencer en 1
3. Sinon, l'écriture en base N de K est égal à la concaténation du dernier résultat et de tous les restes en commençant par le dernier.

Exemple : conversion du nombre 3257 en base 16

• 3257 / 16 = 203,5625 soit
• 3257 = 203 × 16 + 9
• 203 = 12 × 16 + 11

Sachant que 11 se note B et que 12 se note C, l'écriture de 3257 en base 16 est CB9.

Conversion en base 10 d'un nombre en base N

Pour passer d'un nombre en base N à un nombre en base 10, on peut appliquer la méthode suivante ::

Soit K le nombre en base N à convertir. Pour tout chiffre c de rang r dans K, on calcule c×N . La représentation de K en base 10 est la somme de tous les produits.

Le comptage de r commence à zéro de la droite vers la gauche.

Exemple
Le nombre « 10110 » en base 2 s'écrit en base 10 :

1×2 + 0×2 + 1×2 + 1×2 + 0×2 = 22 (base 10)

Exemple
Le nombre « 3FA » en base 16 s'écrit en base 10 :

3×16 + 15×16 + 10×16 = 1 018 (base 10)

Rappel : F en base seize vaut 15 en base dix, A en base seize vaut 10 en base dix.

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