Réduction de Gauss

En mathématiques, la réduction de Gauss est un algorithme permettant de représenter toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie (sur un corps commutatif de caractéristique différente de deux) comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. La méthode employée est proche de la mise sous forme canonique d'une équation du second degré. Cet algorithme est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Réduction de Gauss — Pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie, il existe un entier naturel r, des formes linéaires $l_1,l_2,\dots ,l_r$ indépendantes et des éléments $c_1,\dots ,c_r$ du corps de base, tous non nuls, tels que

En langage matriciel, cela signifie que toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale, c'est-à-dire que pour toute matrice symétrique M d'ordre n, il existe une matrice inversible Q telle que QMQ soit diagonale (les coefficients diagonaux sont les $c_1,\dots ,c_r$ complétés par des zéros si r < n).

L'entier r est le rang de la forme quadratique. C'est aussi le rang de n'importe quelle matrice représentant cette forme dans une base.

Contrairement aux valeurs propres, les c_i ne sont pas uniques, même à permutation près.

• Soit $q$ une forme quadratique sur l'espace vectoriel ${\mathbb{R}}^3$ définie par

(On a désigné par $x_1,x_2,x_3$ un élément $x$ de ${\mathbb{R}}^3$)

Alors $q(x)=(x_1-x_2-x_3{)}^2-4x_2{x}_3=(x_1-x_2-x_3{)}^2-(x_2+x_3{)}^2+(x_2-x_3{)}^2$.

• Autre exemple : $q(x)=x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3$

On a alors $q(x)=(x_1+x_3)(x_2+x_3)-x_3^2=\frac{1}{4}(x_1+x_2+2x_3{)}^2-\frac{1}{4}(x_1-x_2{)}^2-x_3^2.$

Si le corps de base est $\mathbb{C}$ le corps des nombres complexes ou plus généralement un corps algébriquement clos, il existe r formes linéaires indépendantes $l_1,\dots ,l_r$ telles que

Autrement dit, sous l'action du groupe linéaire, les formes quadratiques sont classées par leur rang. En langage matriciel, deux matrices symétriques complexes sont congruentes si et seulement si elles sont même rang.

Si le corps de base est $\mathbb{R},$ le corps des nombres réels, il faut prendre en compte le signe des c_i. Il existe un entier s (compris entre 0 et r) tel que

Cet entier ne dépend pas de la décomposition d'après la loi d'inertie de Sylvester.

• Si s=0, la forme quadratique est positive (définie positive si et seulement si de plus r=n),
• si s=r elle est négative (définie négative si et seulement si de plus r=n).

Si le corps de base est $\mathbb{Q}$ le corps des nombres rationnels ou ${\mathbb{F}}_q$ un corps fini, la réduction de Gauss ne permet pas d'effectuer complètement la classification des formes quadratiques.

Elle donne un algorithme pour trouver une base dans laquelle la matrice de q est diagonale.