Relation ternaire externe

Une relation ternaire externe dans un ensemble associe des éléments de cet ensemble à des couples dont une composante vient de cet ensemble et l'autre d'un ensemble dit de scalaires ou d' opérateurs.

Dans ce qui précède, une question se pose : les scalaires forment-ils la première ou la seconde composante des couples concernés ? Pour lever cette ambiguïté, il faut distinguer entre relations ternaires externes à gauche et à droite.

Plus précisément, une relation ternaire externe à gauche ${\mathfrak{R}}_g$ dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans un ensemble S, ou plus brièvement relation ternaire à gauche de S dans E , est une correspondance de S×E dans E, c'est-à-dire la somme disjointe des trois ensembles suivants :

• l'ensemble de départ S×E;
• l'ensemble d'arrivée E;
• et un graphe G inclus dans S×E , donc formé de triplets dont la première composante est scalaire et les deux autres sont des éléments de E.

Si λ est un élément de S, c'est-à-dire un scalaire, et x et y deux éléments de E, nous pouvons écrire que y est image par ${\mathfrak{R}}_g$ du couple ( λ , x ) de plusieurs manières :

• ( λ , x , y ) ∈ G   ( notation ensembliste )
• ( λ , x , y ) ${\mathfrak{R}}_g$   ( notation relationnelle postfixée )
• ${\mathfrak{R}}_g$ ( λ , x , y )   ( notation relationnelle préfixée )
• ( λ , x ) ${\mathfrak{R}}_g$ y   ( notation relationnelle infixée )

Nous utiliserons dans la suite cette dernière notation.

Symétriquement, une relation ternaire externe à droite ${\mathfrak{R}}_d$ dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans un ensemble S, ou plus brièvement relation ternaire à droite de S dans E , est une correspondance de E×S dans E, c'est-à-dire la somme disjointe des trois ensembles suivants :

• l'ensemble de départ E×S;
• l'ensemble d'arrivée E;
• et un graphe G inclus dans E×S×E, donc formé de triplets dont la deuxième composante est scalaire et les deux autres sont des éléments de E.

Si λ est un élément de S, c'est-à-dire un scalaire, et x et y deux éléments de E, nous pouvons écrire que y est image par ${\mathfrak{R}}_d$ du couple ( x , λ ) de plusieurs manières :

• ( x , λ , y ) ∈ G   ( notation ensembliste )
• ( x , λ , y ) ${\mathfrak{R}}_d$   ( notation relationnelle postfixée )
• ${\mathfrak{R}}_d$ ( x , λ , y )   ( notation relationnelle préfixée )
• ( x , λ ) ${\mathfrak{R}}_d$ y   ( notation relationnelle infixée )

Là encore, nous utiliserons dans la suite cette dernière notation.

Cas particuliers :

• Une opération externe est une relation ternaire externe qui est aussi une fonction.
• Une loi de composition externe est une relation ternaire externe qui est aussi une application.

Soit un ensemble E muni d'une relation ternaire externe $\mathfrak{R}$ sur un ensemble S de scalaires. Nous considérerons le cas d'une relation à gauche (resp. à droite).

• $\mathfrak{R}$ est exo-unifère à gauche ( resp. exo-unifère à droite ), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de S tel que tout couple dont il est la première composante ( resp. la seconde ) a pour image par $\mathfrak{R}$ sa seconde ( resp. sa première ) composante

ou :

- pour une relation à gauche :

- et à droite :

• $\mathfrak{R}$ est absorbante à droite ( resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la seconde composante ( resp. la première ) l'a pour image par $\mathfrak{R}$

ou :

- pour une relation à gauche :

- et à droite :

• $\mathfrak{R}$ est exo-absorbante à gauche ( resp. exo-absorbante à droite ), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que tout couple dont l'élément de S est la première composante ( resp. la seconde ) a pour image par $\mathfrak{R}$ l'élément de E

ou :

- pour une relation à gauche :

- et à droite :

• $\mathfrak{R}$ est régulière à gauche ( resp. à droite ) ssi aucun couple de S × E ( resp. E × S ) n'a d'image commune avec un autre couple de S × E ( resp. E × S ) de même première ( resp. seconde ) composante

ou :

- pour une relation à gauche :

- et à droite :

• $\mathfrak{R}$ est exo-régulière à droite ( resp. à gauche ) ssi aucun couple de S × E ( resp. E × S ) n'a d'image commune avec un autre couple de S × E ( resp. E × S ) de même seconde ( resp. première ) composante

ou :

- pour une relation à gauche :

- et à droite :

• $\mathfrak{R}$ est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.

Définition

Soit un ensemble E muni d'une relation ternaire externe $\mathfrak{R}$ sur un ensemble S de scalaires.

La relation ternaire opposée à $\mathfrak{R}$ est la relation ternaire externe notée « - $\mathfrak{R}$ » et définie par :

- si la relation est à gauche :

- si la relation est à droite :

• Chaque relation ternaire externe a une relation opposée et une seule.
• La relation opposée d'une relation ternaire externe à gauche est une relation à droite, et vice versa.
• Toute relation ternaire est l'opposée de son opposée.
• L'opposée d'une relation ternaire est une opération ssi cette relation est une opération.
• L'opposée d'une relation ternaire est une loi de composition ssi cette relation est une loi de composition.
• Une relation ternaire externe n'est jamais égale à son opposée ( hormis le cas d'une relation interne , mais il s'agit alors d'un abus de langage ).

Définitions

Soit un ensemble E muni d'une relation ternaire externe à gauche ( resp. à droite ) ${\mathfrak{R}}_g$ ( resp. ${\mathfrak{R}}_d$ ) sur un ensemble S de scalaires.

La relation inverse à gauche ( resp. à droite ) ( ou RIG ( resp. RID )) de la relation ${\mathfrak{R}}_g$ ( resp. ${\mathfrak{R}}_d$ ) est la relation scalaire de E × E dans S   notée « $\lceil {\mathfrak{R}}_g$ » ( resp. « ${\mathfrak{R}}_d\rceil$ » ), et définie par :

ou resp. pour une relation à droite par :

La relation ternaire inverse à droite ( resp. à gauche ) ( ou RTID ( resp. RTIG ) de la relation ${\mathfrak{R}}_g$ ( resp. ${\mathfrak{R}}_d$ ) est la relation ternaire externe à droite notée « ${\mathfrak{R}}_g\rceil$ » ( resp. « $\lceil {\mathfrak{R}}_d$ » ), et définie par :

ou resp. pour une relation à droite par :

Ces définitions peuvent sembler à première vue arbitraires, mais elles sont telles qu'elles coïncident avec les définitions des relations inverses pour les relations ternaires internes, dans le cas où S = E.

Propriétés

• Toute relation ternaire externe à droite est la RTIG de sa RTIG.

• La RTIG de l'opposée d'une relation ternaire externe à gauche est la RTID de cette dernière.

• La RID de l'opposée d'une relation ternaire externe à gauche est la RIG de cette dernière, et c'est une relation scalaire.

• La RTID de l'opposée d'une relation ternaire externe à droite est la RTIG de cette dernière.

• La RIG de l'opposée d'une relation ternaire externe à droite est la RID de cette dernière, et c'est une relation scalaire.