Suivant que S vient en premier ou en second lieu dans le produit cartésien qui sert d'ensemble de départ à la loi externe considérée, on distingue les lois externes à gauche et à droite. Ainsi :
une loi externe à gauche de S sur E est une application de S × E dans E ;
une loi externe à droite de S sur E est une application de E × S dans E .
Principales propriétés
Propriétés simples
Soit un ensembleE muni d'une loi externe « . » à scalaires dans un ensemble S. Nous considérerons le cas d'une loi à gauche (resp. à droite).
la loi « . » est exo-unifère à gauche (resp. exo-unifère à droite), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de Squi, composé par cette loi avec tout élément deE , redonne l'élément de E
ou :
- pour une relation à gauche :
∃ϵ∈S/∀x∈E,ϵ.x=x
- et à droite :
∃ϵ∈S/∀x∈E,x.ϵ=x
la loi « . » est absorbante à droite (resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E qui, composé par cette loi avec tout élément de S, se redonne lui-même
ou :
- pour une relation à gauche :
∃a∈E/∀λ∈S,λ.a=a
- et à droite :
∃a∈E/∀λ∈S,a.λ=a
la loi « . » est exo-absorbante à gauche (resp. exo-absorbante à droite), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que l'élément de E soit l'unique résultat de la composition de l'élément de S avec tout élément de E
ou :
- pour une relation à gauche :
∃a∈E,∃ω∈S/∀x∈E,ω.x=a
- et à droite :
∃a∈E,∃ω∈S/∀x∈E,x.ω=a
la loi « . » est régulière à gauche (resp. à droite ) ssi pour chaque élément de S , ses composés par cette loi avec les éléments de E sont tous distincts entre eux
ou :
- pour une relation à gauche :
∀λ∈S,∀(x,y)∈E2,[λ.x=λ.y]⇒(x=y)
- et à droite :
∀λ∈S,∀(x,y)∈E2,[x.λ=y.λ]⇒(x=y)
la loi « . » est exo-régulière à droite (resp.à gauche ) ssi pour chaque élément de E, ses composés par cette loi avec les éléments de S sont tous distincts entre eux
ou :
- pour une relation à gauche :
∀(λ,μ)∈S2,∀x∈E,[λ.x=μ.x]⇒(λ=μ)
- et à droite :
∀(λ,μ)∈S2,∀x∈E,[x.λ=x.μ]⇒(λ=μ)
la loi « . » est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.
Propriétés relatives à une loi interne
la loi « . » estexo-associative par rapport à une loi interne« ∗ » de S si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « . » d'un autre scalaire et d'un élément de E est égal au composé de cet élément de E avec le composé des deux scalaires par la loi « ∗ »
ou :
- pour une relation à gauche :
∀(λ,μ)∈S2,∀x∈E,λ.(μ.x)=(λ∗μ).x
- et à droite :
la loi « . » estdistributive( à gauche ( resp. à droite )) par rapport à une loi interne « ⊥ » deEsi tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « ⊥ » de deux éléments deEest égal au composé par la loi « ⊥ » des deux composés par la loi « . » de ces éléments deEavec le scalaire précédent
ou :
- pour une relation à gauche :
- et à droite :
∀λ∈S,∀(x,y)∈E2,(x⊥y).λ=(x.λ)⊥(y.λ)
la loi « . » estexo-distributive( à droite ( resp. à gauche )) par rapport à une loi interne « ⊤ » deSrelativement à une autre loi interne « ⊥ » deEsi tout composé par la loi « . » d'un élément deEavec le composé par la loi « ⊤ » de deux scalaires est égal au composé par la loi « ⊥ » des deux composés par la loi « . » de l'élément deEavec chaque scalaire