Rotation vectorielle

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Introduction

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté réel de dimension finie n. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal S**O(E). Si on choisit une base orthonormée directe de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe.

Rotation vectorielle plane

Écriture matricielle

Dans le plan, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle $φ$ . Sa matrice dans une base orthonormée directe est :

[cos φ - sin φ sin φ cos φ]

Autrement dit, un vecteur V de composantes $[x; y]$ a pour transformé le vecteur V' de composantes $[x^{'}; y^{'}]$ que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle :

\left[\begin{matrix}x'\y'\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos\varphi&-\sin\varphi \ \sin\varphi&\cos\varphi\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\y\end{matrix}\right]

c'est-à-dire que l'on a :

$x^{'} = x cos φ - y sin φ$ et
$y^{'} = x sin φ + y cos φ$

Écriture complexe

Remarque : ceci peut être rapproché de la formule suivante, écrite avec des nombres complexes :

x^{'} + i y^{'} = (x + i y) (cos φ + i sin φ)

ou encore :

z^{'} = x^{'} + i y^{'} = (x + i y) \cdot e^{i φ} = z \cdot e^{i φ}

Sens de rotation

Lorsque $φ$ est compris entre 0 et π et si le plan est orienté de façon usuelle, la rotation se fait dans le sens trigonométrique ou inverse des aiguilles d'une montre. On dit que la rotation est sénestre. Si $φ$ est compris entre − π et 0, la rotation se fait dans le sens des aiguilles d'une montre. Elle est dite dextre.

Composition

La composée de deux rotations vectorielles est une rotation vectorielle dont l'angle est la somme des angles des deux rotations, ce qu'on traduit en disant que le groupe des rotations vectorielles est isomorphe au groupe $(R /2 π Z, +)$ .

Rotations et angles

Dans la construction axiomatique de la géométrie, c'est la définition des rotations planes qui permet de définir la notion d'angle (voir l'article Angle).

Rotation vectorielle dans l'espace de dimension 3

Écriture matricielle

Dans l'espace de dimension 3, une rotation vectorielle est définie par son axe $N$ orienté dont les vecteurs sont invariants par cette rotation vectorielle et par son angle $φ$ , celui de la rotation vectorielle plane qui concerne le plan orthogonal à l'axe.

Nous supposerons que le vecteur $N$ , de coordonnées $[n_{x}; n_{y}; n_{z}]$ dans une base orthonormée directe, est normé : $∣ N ∣ = 1$ .

Soit $U$ un vecteur quelconque. Notons $V$ sa transformée par la rotation $[φ; N]$ .

Cas particulier simple

Commençons par l'étude du cas particulier où la base orthonormée directe $(i, j, k)$ est telle que $N = k$
Soient $Π$ le plan vectoriel orthogonal à $N$ . Compte tenu du cas particulier, le plan $Π$ est le plan engendré par les vecteurs $i$ et $j$ . Le vecteur $U$ se décompose en un vecteur $z k$ colinéaire à $N$ qui est invariant par la rotation, et un vecteur $x i + y j$ qui subit une rotation d'angle $φ$ dans le plan $Π$ , et l'on peut appliquer à $x i + y j$ les formules établies dans le cas des rotations vectorielles planes. On peut donc écrire :

$z^{'} = z$ et aussi $\left[\begin{matrix}x'\y'\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos\varphi&-\sin\varphi \ \sin\varphi&\cos\varphi\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\y\end{matrix}\right]$ comme ci-dessus

ce qui peut s'écrire sous la forme synthétique :

\left[\begin{matrix}x'\y'\z'\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos\varphi&-\sin\varphi&0\ \sin\varphi&\cos\varphi&0\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\y\z\end{matrix}\right]

Cas général

Si le vecteur $N$ a une orientation quelconque par rapport à la base orthonormée directe $(i, j, k)$ qui sert à exprimer les composantes, le raisonnement est plus délicat.

Comme ci-dessus, définissons le plan $Π$ , orthogonal à $N$ . Le vecteur $U$ se décompose en la somme de $(U \cdot N) N$ , colinéaire à $N$ et invariant par la rotation, et de $W = U - (U \cdot N) N$ , élément de $Π$ et qui va subir une rotation dans ce plan. Le vecteur directement orthogonal à $W$ dans le plan et de même norme est $N \land W$ , de sorte que l'image de $W$ dans la rotation d'angle $φ$ est $cos (φ) W + sin (φ) N \land W$ .

Finalement, l'image de $U$ par la rotation vaut :

V = (U \cdot N) N + cos (φ) W + sin (φ) N \land W

et si on remplace $W$ par sa valeur $U - (U \cdot N) N$ , on obtient :

V = (U \cdot N) N + cos (φ) (U - (U \cdot N) N) + sin (φ) N \land U

d'où finalement la formule d'Olinde Rodrigues :

La formule encadrée ci-dessus donne l'expression vectorielle du transformé $V$ d'un vecteur $U$ quelconque, dans la rotation $[φ; N]$ d'angle $φ$ et d'axe $N$ normé ( $n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2} = 1$ ).

On peut présenter le même résultat sous la forme matricielle équivalente suivante :

$\left[\begin{matrix}x'\y'\z'\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}M\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\y\z\end{matrix}\right]$ avec :

M = cos\,\varphi\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix} + (1-\cos\varphi)\begin{bmatrix}n^2_x&n_x n_y&n_x n_z\n_x n_y&n^2_y&n_y n_z\n_x n_z&n_y n_z&n^2_z\end{bmatrix} +\ sin\,\varphi\begin{bmatrix}0&-n_z&n_y\n_z&0&-n_x\-n_y&n_x&0\end{bmatrix}

Remarques

La matrice M est appelée matrice de rotation. C'est une matrice orthogonale directe, ce qui signifie que ses colonnes forment une base orthonormée directe, ou encore que sa matrice transposée est égale à sa matrice inverse et que son déterminant vaut 1.

Inversement, étant donné une matrice de rotation quelconque, on retrouve facilement le cosinus de l'angle de rotation. En effet, la trace de la matrice (c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux) est égale à $1 + 2 cos φ$ . Par ailleurs, on remarque que :

M - {}^t M = 2\sin(\varphi)\begin{bmatrix}0&-n_z&n_y\n_z&0&-n_x\-n_y&n_x&0\end{bmatrix}

ce qui permet de retrouver rapidement l'axe et le sinus associés à la rotation. Géométriquement, $M U$ et $^{t} M U$ forment les deux côtés d'un losange dont le vecteur $(M -^{t} M) U = 2 sin (φ) N \land U$ est la diagonale, orthogonale à l'axe de rotation. C'est le losange de Olinde Rodrigues.

Utilisation des quaternions

On peut également faire appel à la notion de quaternions. En effet, on peut calculer le transformé $V$ du vecteur $U$ en utilisant le produit de quaternions sous la forme suivante :

Composition de deux rotations vectorielles

La composée de deux rotations vectorielles $[φ_{1}; N_{1}]$ et $[φ_{2}; N_{2}]$ de l'espace de dimension 3 est une rotation vectorielle. Les caractéristiques $[φ_{3}; N_{3}]$ de celle-ci se déterminent à partir de M₃ − M₃, où M₃ est le produit M₂M₁ des matrices de rotation initiales, ou bien à partir du produit des quaternions définissant chacune des rotations, ou bien en composant les formules de Rodrigues relatives à chaque rotation.

On trouve que :

cos (\frac{φ _{3}}{2}) = cos (\frac{φ _{1}}{2}) cos (\frac{φ _{2}}{2}) - sin (\frac{φ _{1}}{2}) sin (\frac{φ _{2}}{2}) (N_{1} \cdot N_{2})

sin (\frac{φ _{3}}{2}) N_{3} = cos (\frac{φ _{1}}{2}) sin (\frac{φ _{2}}{2}) N_{2} + cos (\frac{φ _{2}}{2}) sin (\frac{φ _{1}}{2}) N_{1} + sin (\frac{φ _{1}}{2}) sin (\frac{φ _{2}}{2}) N_{2} \land N_{1}

Rotations en dimension 4

Les matrices du groupe orthogonal SO(4) peuvent de même se mettre sous forme canonique (après diagonalisation dans C) ; on montre qu'il existe deux plans vectoriels orthogonaux tels que dans une base orthonormale constituée de deux vecteurs de chaque plan, la matrice s'écrive $\begin{bmatrix}\cos\alpha &-\sin\alpha&0&0\sin\alpha&\cos\alpha&0&0\0&0&\cos\beta&-\sin\beta\0&0&\sin\beta&\cos\beta\end{bmatrix}$ . On voit donc que la rotation est composé de deux rotations planes, et ne possède en particulier pas de vecteur fixe (pas d'« axe ») sauf si l'un des angles α ou β est nul (dans ce cas, on peut parler, par analogie avec le cas tridimensionnel, de rotation « autour » d'un plan). Si $α \neq = β$ , les deux plans sont uniques, et ce sont les seuls plans globalement invariants par la rotation ; dans le cas où α = β (rotations dites isoclines), tous les plans engendrés par un vecteur et son image sont globalement invariants.