Strophoïde

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une courbe strophoïdale, ou simplement une strophoïde, est une courbe engendrée à partir d'une courbe donnée C et de deux points A (le point fixe) et O (le pôle). Dans le cas particulier où C est une droite, A appartient à C, et O n'appartient pas à C, la courbe est appelée une strophoïde oblique. Si, de plus, OA est perpendiculaire à C, la courbe est appelée une strophoïde droite, ou simplement une strophoïde par certains auteurs. La strophoïde droite est aussi parfois appelée courbe logocyclique.

La courbe strophoïdale correspondant à la courbe C, au point fixe A et au pôle O est construite de la manière suivante : soit L une droite mobile passant par O et coupant C en K. Soit alors P₁ et P₂ les deux points de L tels que P₁K = P₂K = AK. Le lieu géométrique des pointsP₁ et P₂ est appelé la strophoïde de C relativement au pôle O et au point fixe A. On remarquera que AP₁ et AP₂ sont orthogonaux.

Coordonnées polaires

Soit lal courbe C donnée par r = f(θ), où l'origine est prise en O. Soit A le point de coordonnées cartésiennes (a, b). Si $K=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ est un point de la courbe, la distance de K àA est

$d=\sqrt{(r\cos \theta -a{)}^2+(r\sin \theta -b{)}^2}=\sqrt{(f(\theta )\cos \theta -a{)}^2+(f(\theta )\sin \theta -b{)}^2}$.

Les points de la droite OK ont pour angle polaire θ, et les points à distance d de K sur cette droite sont à une distance $f(\theta )\pm d$ de l'origine. Par conséquent, l'équation de la strophoïde est donnée par

$r=f(\theta )\pm \sqrt{(f(\theta )\cos \theta -a{)}^2+(f(\theta )\sin \theta -b{)}^2}$.

Coordonnées cartésiennes

Soit C d'équations paramétriques (x=x(t),y= y(t)). Soit A le point (a, b) et O le point (p, q). Alors, les formules polaires précédentes montrent que la strophoïde est représentée paramétriquement par :

$x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t))$,

où

$n(t)=\sqrt{\frac{(x(t)-a{)}^2+(y(t)-b{)}^2}{(x(t)-p{)}^2+(y(t)-q{)}^2}}$.

Une autre formule polaire

La complexité des formules précédentes limite leur utilité en pratique. Il en existe une forme alternative parfois plus simple, qui est particulièrement utile quand C est une sectrice de Maclaurin (en) de pôles Oet A.

Soit O l'origine et A le point (a, 0). Soit K un point de la courbe, θ l'angle entre OK et l'axe Ox, et $\vartheta$ l'angle entre AK et l'axe Ox. Supposons que $\vartheta$ soit donné en fonction de θ, sous la forme $\vartheta =l(\theta )$. Soit ψ l'angle en K, donc$\psi =\vartheta -\theta$. On peut déterminer r en fonction de l en utilisant la loi des sinus : comme

$\frac{r}{\sin \vartheta }=\frac{a}{\sin \psi },r=a\frac{\sin \vartheta }{\sin \psi }=a\frac{\sin l(\theta )}{\sin (l(\theta )-\theta )}$.

Soit P₁ et P₂ les points de la droite OK à distance AK de K, numérotés de façon à ce que$\psi =\widehat{P_{1}KA}$ et $\pi -\psi =\widehat{AK{P}_2}$. Le triangle P₁K**A est isocèle d'angle au sommet ψ, donc les angles de la base, $\widehat{A{P}_{1}K}$ et $\widehat{KA{P}_1}$, valent(π − ψ) / 2. L'angle entre AP₁ et l'axe Ox est alors

$l_1(\theta )=\vartheta +\angle KA{P}_1=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2$.

Utilisant le fait que AP₁ et AP₂ sont perpendiculaires (car le triangleAP₁P₂ est inscrit dans un demi-cercle), l'angle entre AP₂ et l'axe Ox vaut

$l_2(\theta )=(\vartheta +\theta )/2$.

L'équation polaire de la strophoïde se déduit alors de l₁ et l₂ d'après les formules précédentes :

C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A quand l est de la forme qθ + θ₀ ; dans ce cas l₁ et l₂ ont la même forme, et la strophoïde est soit une autre sectrice de Maclaurin, soit un couple de sectrices ; on peut en trouver une équation polaire simple si on prend l'origine au symétrique de A par rapport àO.

Strophoïdes obliques

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes, l(θ) = α, oùα est une constante, et l₁(θ) = (θ + α + π) / 2 ; l₂(θ) = (θ + α) / 2. Avec l'origine en O, les équations polaires de la strophoïde correspondante, appelée une strophoïde oblique deviennent

et

.

On vérifie facilement que ces deux équations décrivent en fait la même courbe.

Déplaçant l'origine en A (voir, là encore, l'article sectrice de Maclaurin (en)) et remplaçant −a par a, on obtient

$r=a\frac{\sin (2\theta -\alpha )}{\sin (\theta -\alpha )}$ ;

une rotation de α transforme cette équation en

$r=a\frac{\sin (2\theta +\alpha )}{\sin (\theta )}$.

En coordonnées cartésiennes (et en changeant les constantes), on obtient

y(x + y) = b(x − y) + 2cxy.

C'est une cubique, unicursale d'après l'équation polaire. Elle possède un point double en (0, 0), et la droite y=b lui est asymptote.

La strophoïde droite

Posant α = π / 2 dans

$r=a\frac{\sin (2\theta -\alpha )}{\sin (\theta -\alpha )}$,

on obtient

$r=a\frac{\cos 2\theta }{\cos \theta }=a(2\cos \theta -\sec \theta )$.

Cette courbe est appelée la strophoïde droite, et correspond au cas où C est l'axe Oy, O est l'origine, et A est le point (a,0).

L'équation cartésienne est

y = x(a − x) / (a + x) ;

une représentation paramétrique unicursale est :

$y=-at\frac{1-t^2}{1+t^2}$.

La courbe ressemble au folium de Descartes, et la droite x = −a est asymptote aux deux branches infinies. La courbe possède deux autres asymptotes "imaginaires" dans le plan complexifié ${\mathbb{C}}^2$, données par

$x\pm iy=-a$.

Strophoïdes de cercles passant par les points fixes

Soit C un cercle passant par O et A. Prenant O pour origine et A en (a, 0), on obtient, dans les notations précédentes, l(θ) = α + θ, où α est une constante. Ainsi, l₁(θ) = θ + (α + π) / 2 et l₂(θ) = θ + α / 2. Les équations polaires des strophoïdes correspondantes sont alors

et

$r=a\frac{\sin (\theta +\alpha /2)}{\sin (\alpha /2)}$.

Ce sont les équations de deux cercles passant également par O et A, et formant des angles de π / 4 avec C en ces points.