Loi des sinus

En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.

On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

• a = BC et α = angle formé par [AB] et [AC] ;
• b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
• c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

Alors,

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{abc}{2S}=2R$,

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et

est l'aire du triangle donnée à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron.

La relation de proportionnalité est parfois résumée ainsi :

Le théorème peut être utilisé

• pour déterminer le rayon du cercle circonscrit $R=\frac{a}{2\sin \alpha }$
• pour résoudre un triangle dont on connaît un angle, un côté adjacent à l'angle et un côté opposé (cf. Fig. 2 ci-contre) $\gamma =\arcsin \frac{a\sin \beta }{b}$.

Pour une surface non euclidienne de courbure K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

$\rho =1/\sqrt{|K|}$.

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

$a=BC/\rho$,

$b=AC/\rho$,

$c=AB/\rho$.

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).

Géométrie sphérique

Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus s'écrit

$\frac{\sin a}{\sin \alpha }=\frac{\sin b}{\sin \beta }=\frac{\sin c}{\sin \gamma }=\frac{6V_{\mathrm{OABC}}}{{\rho }^3\sin a\sin b\sin c}$,

où V_OABC est le volume du tétraèdre OABC.

Géométrie hyperbolique

Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit

$\frac{\sinh a}{\sin \alpha }=\frac{\sinh b}{\sin \beta }=\frac{\sinh c}{\sin \gamma }$.

On considère un tétraèdre A₁A₂A₃A₄ de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :

• ${\mathrm{S}}_k$ la face opposée opposée au sommet ;
• $s_k$ la surface de ;
• ${\Delta }_k$ le plan dans lequel est plongée ;
• ${\theta }_{ij}$ l'angle diédral $\widehat{({\Delta }_i,{\Delta }_j)}$.

On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets A₁, etc. comme suit

• $\sin A_1=\frac{\sqrt{1-{\cos }^2{\theta }_{23}-{\cos }^2{\theta }_{24}-{\cos }^2{\theta }_{34}-2\cos {\theta }_{23}\cos {\theta }_{24}\cos {\theta }_{34}}}{\sin {\theta }_{23}\sin {\theta }_{24}\sin {\theta }_{34}}$ ;
• etc.

Alors

$\frac{S_1}{\sin A_1}=\frac{S_2}{\sin A_2}=\frac{S_3}{\sin A_3}=\frac{S_4}{\sin A_4}=\frac{2S_1{S}_2{S}_3{S}_4}{9V}$,

où V est le volume du tétraèdre.