Asymptote

Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal. C'est d'abord un adjectif d'étymologie grecque qui peut qualifier une droite, un cercle, un point ... dont une courbe plus complexe peut se rapprocher. C'est aussi devenu un nom féminin synonyme de droite asymptote.

L'étude du comportement asymptotique est particulièrement développé dans les études de fonctions. Dans le domaine scientifique, il arrive fréquemment d'étudier des fonctions dépendant du temps (évolution de populations, réaction chimique ou nucléaire, graphique de température, oscillation d'un amortisseur). Un des objectifs du chercheur est alors de connaitre l'état à la fin de l'expérience, c’est-à-dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé. L'objectif n'est alors pas de connaitre les variations intermédiaires mais de déterminer le comportement stable, à l'infini du phénomène mesuré. Le chercheur étudie donc le comportement asymptotique de sa fonction avec les outils que les mathématiques lui offrent.

Le projet d'une définition uniforme n'étant pas raisonnable, cet article détaillera plusieurs situations.

Les asymptotes sont à rechercher lorsque x ou f(x) tend vers l'infini.

Droite asymptote

Asymptote « verticale »

La droite d'équation x = a est une asymptote « verticale » à la courbe représentative de la fonction f (en a) si quel que soit x>a, ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$.
La droite d'équation x = a est asymptote « verticale » à la courbe représentative de la fonction f (en a) si quel que soit x.

On trouvera des asymptotes verticales en particulier lorsque la fonction f se présente sous forme d'un quotient dont le dénominateur, mais pas le numérateur, s'annule en a.

Exemples : fonction homographique, logarithme népérien, fonction tangente

Asymptote « horizontale »

La droite d'équation y = b est asymptote horizontale à la courbe d'équation y = f(x), si ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=b$ .

Exemples : fonction homographique, exponentielle. tangente hyperbolique

Asymptote « oblique »

La droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f si ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)-(ax+b)=0$

les valeurs de a et de b peuvent se retrouver à l'aide des remarques suivantes :

$b={\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)-ax$.

Lorsque la limite ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}$ existe et est égale à a et la ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)-ax$ n'existe pas, on dit que la courbe admet une branche parabolique de direction la droite d'équation y = a**x.

Exemples : fonction rationnelle,

Le point de vue projectif

Les trois situations précédentes n'en forment qu'une en géométrie projective, une asymptote étant une tangente à l'infini.

Courbe asymptote

La courbe d'équation y = g(x) est asymptote à la courbe d'équation y = f(x) en $\pm \infty$ si ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)-g(x)=0$ . Les asympotes « horizontales » ou « obliques » sont alors des cas particuliers de courbes asympotes de ce type.

La courbe d'équation y = g(x) est asymptote à la courbe en $a^{\pm }$ si ${\lim }_{x\to a^{\pm }}f(x)={\lim }_{x\to a^{\pm }}g(x)=\pm \infty$

Exemple : Une courbe d'équation $y=\frac{a{x}^3+b{x}^2+cx+d}{x}$ admet une parabole asymptote d'équation y = a**x + b**x + c et une hyperbole asymptote d'équation $y=\frac{d}{x}$. La figure constitue un trident de Newton.

On cherche les asymptotes aux branches infinies de la courbe d'équation (x = x(t) ; y = y(t) ), c’est-à-dire en t₀ (réel ou infini) tel que ${\lim }_{t\to t_0}OM(t)=+\infty$ où M(t) est le point de coordonnées (x(t) ; y(t))

Droite asymptote horizontale

La courbe admet la droite $D:y=y_0$ pour asymptote en t₀ si : ${\lim }_{t\to t_0}x(t)=+\infty$ et ${\lim }_{t\to t_0}y(t)=y_0$

Exemple à trouver

Droite asymptote verticale

La courbe admet la droite $D:x=x_0$ pour asymptote en t₀ si : ${\lim }_{t\to t_0}x(t)=x_0$ et ${\lim }_{t\to t_0}y(t)=+\infty$

Exemple à trouver

Autre asympote

Si ${\lim }_{t\to t_0}|x(t)|=+\infty$ et ${\lim }_{t\to t_0}|y(t)|=+\infty$

Nous cherchons donc à étudier (si elle existe), la limite l de $\frac{y(t)}{x(t)}$ quand t tend vers t₀.

Si l est $+\infty$ ou $-\infty$, l'asymptote est verticale.

Si l est réelle, l'asymptote est la droite d'équation y = l**x

Exemple à trouver

Méthode de recherche

Méthode à proposer Exemple à trouver

On cherche les asympotes à la courbe d'équation r = ρ(θ) lorsque r ou θ tend vers l'infini

Droite asymptote

À faire

Cercle asympote

À faire

Point asymptote

À faire