Tenseur de Killing-Yano

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Tenseurs de Killing-Yano triviaux

Tout vecteur de Killing est un tenseur de Killing d'ordre 1 et un tenseur de Killing-Yano.

Le tenseur complètement antisymétrique (dit de Levi-Civita) $ϵ_{a_{1} a_{2} ... a_{n}}$ , où n est la dimension de la variété est un tenseur de Killing-Yano, sa dérivée covariante étant toujours nulle (voir Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur).

Construction de tenseurs de Killing à partir de tenseurs de Killing-Yano

Il existe plusieurs façons de construire des tenseurs de Killing (symétriques) à partir de tenseurs de Killing-Yano.

Tout d'abord, deux tenseurs de Killing triviaux peuvent être obtenus à partir de tenseurs de Killing-Yano :

À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre 1 ξ_a, on peut construire un tenseur de Killing K_a**b d'ordre de 2 selon

K_a**b = ξ_aξ_b.

À partir du tenseur complètement antisymétrique $ϵ_{a_{1} a_{2} ... a_{n}}$ , on peut construire le tenseur de Killing trivial

$K_{ab} = ϵ_{b a_{2} ... a_{n}} ϵ^{a_{2} ... a_{n} c} g_{c a} = - 6 g_{ab}$ .

De façon plus intéressante, à partir de deux tenseurs de Killing-Yano d'ordre 2 A_a**b et B_a**b, on peut construire le tenseur de Killing d'ordre 2 K_a**b selon

$K_{ab} = g^{c d} (A_{a c} B_{d b} + B_{a c} A_{d b})$ .

À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre n-1, $A_{a_{2} ... a_{n}}$ , on peut construire le vecteur associé au sens de Hodge (voir Dualité de Hodge),

$A^{a} = ϵ^{a a_{2} ... a_{n}} A_{a_{2} ... a_{n}}$ .

Du fait que le tenseur $A_{a_{2} ... a_{n}}$ est de Killing-Yano, le vecteur A n'est pas de Killing-Yano, mais obéit à l'équation

$D_{a} A_{b} = \frac{1}{n} g_{ab} D_{c} A^{c}$ .

Cette propriété permet de construit un tenseur de Killing K_a**b à partir de deux tels vecteurs, défini par :

K_a**b = A_aB_b + A_bB_a − 2A**B_cg_a**b.

Toute combinaison linéraire de tenseurs de Killing-Yano est également un tenseur de Killing-Yano.

Propriétés

Un certain nombre de propriétés des espaces-temps quadridimensionnels impliquant les tenseurs de Killing-Yano ont été exhibées par C. D. Collinson et H. Stephani dans le courant des années 1970.

Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano non dégénéré, alors celui-ci peut s'écrire sous la forme

$A_{ab} = X (l_{a} k_{b} - k_{a} l_{b}) + iY (m_{a} \overset{m}{ˉ}_{b} - \overset{m}{ˉ}_{a} m_{b})$ ,

où k, l, m et $\overset{m}{ˉ}$ forment une tétrade et les fonctions X et Y obéisent à un certain nombre d'équations différentielles. De plus, le tenseur de Killing-Yano obéit à la relation suivante avec le tenseur de Ricci :

$R_{a}^{c} A_{c b} + R_{b}^{c} A_{c a} = 0$ .

Les solutions aux équations d'Einstein dans le vide et de type D dans la classification de Petrov admettent un tenseur de Killing et un tenseur de Killing-Yano, tous deux d'ordre 2 et reliés par la formule donnée ci-dessus.
Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 2 dégénéré A_a**b, alors celui-ci s'écrit sous la forme

A_a**b = k_ap_b − p_ak_b,

k étant un vecteur de Killing de genre lumière. Le tenseur de Weyl est dans ce cas de type N dans la classification de Petrov, et k est son vecteur propre non trivial. De plus, a possède la relation donnée ci-dessus avec le tenseur de Riemann

Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 3, alors soit le vecteur associé par dualité de Hodge est un vecteur de genre lumière constant, soit l'espace est conformément plat.