Tenseur de Ricci

Restez toujours informé : suivez-nous sur Google (☆)

Introduction

Articles scientifiques
sur les tenseurs

Généralités

Tenseur (mathématiques)
Produit tensoriel
... de deux modules
... de deux applications linéaires
Algèbre tensorielle
Champ tensoriel
Espace tensoriel

Physique

Convention d'Einstein
Tenseur métrique
Tenseur énergie-impulsion
Tenseur de Riemann
... de Ricci
... d'Einstein
... de Weyl
... de Levi-Civita
... de Killing
... de Killing-Yano
... de Bel-Robinson
... de Cotton-York
Tenseur électromagnétique
Tenseur des contraintes
Tenseur des déformations

Construction mathématique

Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann R, qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la Relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'une réduction d'indices du tenseur.

Il peut s'exprimer notamment à partir des symboles de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.

D'un point de vue mathématique, on parvient aux résultats suivant, en utilisant la convention de sommation d'Einstein.

Les symboles de Christoffel s'expriment par :

Γ^{γ} α β = \frac{1}{2} g^{γ δ} (\partial α g_{β δ} + \partial_{β} g_{α δ} - \partial_{δ} g_{α β})

Ces coefficients sont notamment utilisés pour écrire l'équation d'une géodésique, c'est-à-dire le chemin le plus court entre deux points de l'espace courbe – qui n'est pas toujours une ligne droite :

\frac{d ^{2} x ^{α}}{d s ^{2}} + Γ^{α}_{β γ} \frac{d x ^{β}}{d s} \frac{d x ^{γ}}{d s} = 0

Le tenseur de courbure s'exprime à partir de ces mêmes coefficients de Christoffel :

R^{δ} α β γ = \partial α Γ^{δ} β γ - \partial β Γ^{δ} α γ + Γ^{δ} α ε Γ^{ε} β γ - Γ^{δ} β ε Γ^{ε}_{α γ}

Nous obtenons enfin le tenseur de Ricci par réduction :

R_{α β} = R^{γ}_{α β γ}

Par la suite, la courbure scalaire se déduit à l'aide d'une nouvelle réduction :

R = g**R_αβ

La divergence du tenseur d'Einstein $R^{α β} - \frac{1}{2} g^{α β} R$ est nulle :

[R^{α β [t y p e = e mb e dd e d - d e f ini t i o n]} - \frac{1}{2} g^{α β} R]_{α β} = 0

Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.

Tenseurs d'une surface en coordonnées de Riemann

Tenseur de Riemann

Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann R_xyx**y qui s'écrit alors, en deux dimensions.

R_{x y x y} = - \frac{1}{2} (\frac{\partial ^{2} g _{xx}}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g _{y y}}{\partial x ^{2}})

où g_x**x et g_y**y sont les coefficients de la métrique en coordonnées de Riemann, c'est-à-dire des coordonnées cartésiennes locales. Pour prendre un exemple, on ne peut utiliser le même système de coordonnées en Australie qu'en France sinon les Australiens auraient la tête en bas (pour nous)! Le tenseur de Ricci est formé, en fonction de la métrique inverse g indices supérieurs) et du tenseur de Riemann dit « entièrement covariant », (indices inférieurs), R_ijk**l, par la relation générale

Tenseur de Ricci

R_i**k = g**R_min**k = Σg**R_min**k

g = 1 / g_x**x et g = 1 / g_y**y sont les éléments de la métrique inverse de la métrique directe, également diagonale. La convention d’Einstein consiste à supprimer le signe Σ, avec quelques restrictions. En deux dimensions ces relations s’explicitent en :

R_{xx} = g^{xx} R_{xxxx} + g^{y y} R_{x y x y}

R_{y y} = g^{xx} R_{x y x y} + g^{y y} R_{y y y y}

L'identité de Bianchi du tenseur de Riemann s'écrit :

R_abc**d = − R_bac**d = − R_abd**c

Elle devient, lorsque a = b = c = d = x (ou y) :

R_xxx**x = − R_xxx**x = − R_xxx**x = 0

On a donc

R_xxx**x = R_yyy**y = 0

En deux dimensions, il reste

R_{xx} = g^{y y} R_{x y x y} = \frac{1}{g _{y y}} R_{x y x y}

R_{y y} = g^{xx} R_{x y x y} = \frac{1}{g _{xx}} R_{x y x y}

Le tenseur de Ricci d’une surface de métrique diagonale a donc deux composantes différentes bien que celui de Riemann n’en ait qu’une seule, non nulle et au signe près.