Théorème de Heine

Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue d'un segment [a,b] dans $\mathbb{R}$ est uniformément continue.

Énoncé

Théorème — Soit une fonction $f$ de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, continue sur le segment $[a,b]$. Alors, $f$ est uniformément continue sur ce segment.

Utilisation

$f$ étant continue en tout point x, nous savons donc que :

$\forall x\in [a,b],\forall \epsilon >0,\exists {\alpha }_{x,\epsilon }>0$ tel que $\forall y\in [a,b],|x-y|<{\alpha }_{x,\epsilon }\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Le théorème de Heine permet donc d'affirmer qu'elle est uniformément continue sur le segment $[a,b]$, c'est-à-dire que le $\alpha$ peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

$\forall x\in [a,b],\exists {\alpha }_x$ en $\exists \alpha ,\forall x\in [a,b]$.

La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :

Propriété — $\forall \epsilon >0,\exists {\alpha }_{\epsilon }>0$ tel que $\forall x\in [a,b],\forall y\in [a,b],|x-y|<{\alpha }_{\epsilon }\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Démonstration

Fixons un $\epsilon >0$ et posons, pour tout $x\in [a,b]$, ${\beta }_x=\frac{1}{2}{\alpha }_{x,\epsilon /2}$ (où les α_{x,ε / 2} sont ceux liés à la continuité de $f$).

Considérons $[a,b]={\cup }_{x\in [a,b]}\{x\}\subset {\cup }_{x\in [a,b]}B(x,{\beta }_x)$. C'est un recouvrement de $[a,b]$ par des ouverts donc (d'après le Théorème de Borel-Lebesgue) on peut en extraire un sous-recouvrement fini : $[a,b]\subset {\cup }_{z\in Z}B(z,{\beta }_z)$ pour une certaine partie finie $Z$ de $[a,b]$.

Posons $\alpha =mi{n}_{z\in Z}{\beta }_z$. Alors, pour tous $x,y\in [a,b]$ tels que $|x-y|<\alpha$, en choisissant un $z\in Z$ tel que $x\in B(z,{\beta }_z)$ on obtient :

$|x-z|<{\beta }_z$ et $|y-z|<\alpha +{\beta }_z\le 2{\beta }_z={\alpha }_{z,\epsilon /2}$.

Donc :

$|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$.

La valeur α trouvée étant bien indépendante de $x$, l'uniforme continuité est démontrée.

Énoncé

Théorème — Soient X un espace métrique compact, Y un espace métrique, et $f:X\to Y$ une application continue. Alors $f$ est uniformément continue (sur X).

On note $d$ la distance sur $X$ et $d^{\prime }$ la distance sur $Y$. Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de $X$ dans $Y$ est uniformément continue, ce qui s'exprime par :

$\forall \epsilon >0,\exists \alpha >0$ tel que $\forall a,b\in X,d(a,b)<\alpha \Rightarrow d^{\prime }(f(a),f(b))<\epsilon$.

Démonstration directe

On peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement $[a,b]$ par $X$, $\mathbb{R}$ par $Y$, Théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

Démonstration par la propriété de Bolzano-Weierstrass

Une autre méthode est de raisonner par contraposée en supposant $f$ non uniformément continue sur $X$ et en prouvant qu'elle n'est alors pas continue sur $X$. Par hypothèse, il existe $\epsilon >0$ tel que pour chaque $\alpha >0$, l'implication $d(a,b)<\alpha \Rightarrow d^{\prime }(f(a),f(b))<\epsilon$ soit fausse pour certains $a,b$, en particulier tel que pour chaque $n\in N^{\ast }$, il existe deux points $a_n$ et $b_n$ de $X$ tels que

$d(a_n,b_n)<\frac{1}{n}$ et $d^{\prime }(f(a_n),f(b_n))\ge \epsilon$.

La suite $(a_n)$ est à valeurs dans le compact $X$ donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note $\phi$ l'extraction et a la limite de la sous-suite. La relation $d(a_{\phi (n)},b_{\phi (n)})<\frac{1}{\phi (n)}$ montre que $(b_{\phi (n)})$ converge aussi vers $a$. Il s'ensuit que pour tout $\eta >0$, il existe $x,y\in B(a,\eta )$ tels que $d^{\prime }(f(x),f(y))\ge \epsilon$ donc tels que $d^{\prime }(f(x),f(a))\ge \epsilon /2$ ou $d^{\prime }(f(y),f(a))\ge \epsilon /2$, ce qui prouve la non continuité de $f$ au point $a$.