Théorème de Tychonov

Le théorème de Tychonov est un théorème de topologie qui affirme qu'un produit d'espaces topologiques compacts est compact au sens de la topologie produit. Il a été publié en 1930 par le mathématicien russe Andreï Nikolaïevitch Tikhonov. Il a plusieurs applications en topologie algébrique et différentielle, particulièrement en analyse fonctionnelle, pour la preuve du théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki et le compactifié de Stone-Čech.

Si ce théorème ne choque pas l'intuition dans le cas d'un produit fini, sa validité dans le cas d'un produit quelconque est plus étonnante, et se démontre par une méthode non constructive faisant appel à l'axiome du choix. On notera qu'il est aussi possible de se passer de l'axiome du choix dans le cas d'un produit dénombrable d'espaces métriques compacts, ce que nous montrons dans la première partie de cet article, la deuxième étant consacrée à la démonstration dans le cas général.

Dans le cas du produit dénombrable de métriques, l'idée essentielle est de faire de ce produit un espace lui aussi métrique en le munissant d'une distance appropriée, ce qui permet ensuite d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass: le produit X sera compact si et seulement si de toute suite d'éléments de X on peut extraire une sous-suite convergente.

On va utiliser la propriété de Borel-Lebesgue pour les fermés: un espace X est compact si seulement si il est séparé et pour toute famille $\mathcal{F}$ de fermés de X dont l'intersection finie d'éléments est non vide, alors: ${\bigcap }_{F\in \mathcal{F}}F$ est non vide. Comme tout produit de séparés est séparé pour la topologie produit, il reste à prouver que le produit de compacts vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, et ce en utilisant le lemme de Zorn.

Soit donc $(X_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ une famille de compacts, et soit $\mathcal{F}$ une famille de fermés de ${\prod }_{\alpha \in A}{X}_{\alpha }$ dont l'intersection finie d'éléments est non vide. On notera p_α la projection sur X_α.

On va considérer l'ensemble des familles contenant (au sens de l'inclusion) $\mathcal{F}$ et dont les intersections finie d'éléments sont non vides: c'est un ensemble ordonné par l'inclusion et inductif: il vérifie donc les hypothèses du lemme de Zorn, et admet donc un élément maximal ${\mathcal{F}}^{\ast }$.

Soit $\alpha \in A$ fixé. Comme l'intersection finie d'éléments de ${\mathcal{F}}^{\ast }$ est non vide, c'est aussi le cas de l'intersection finie de projections sur X_α d'éléments de ${\mathcal{F}}^{\ast }$, donc de l'adhérence de tels éléments: ainsi la famille ${\overline{(p_{\alpha }(F))}}_{F\in {\mathcal{F}}^{\ast }}$ vérifie les hypothèses de la propriété de Borel-Lebesgue dans X_α compact, donc ${\bigcap }_{F\in {\mathcal{F}}^{\ast }}\overline{(p_{\alpha }(F))}\ne \varnothing$: soit donc x_α élément de cette intersection.

On va alors considérer l'élément $x=(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ du produit et montrer qu'il est bien dans l'intersection des éléments de $\mathcal{F}$, qui sera alors non vide ce qui achèvera la preuve.

On remarque tout d'abord que par maximalité, (L1): $\mathcal{F}\ast$ est stable par intersection finie: sinon il existe $F_1..F_n\in \mathcal{F}\ast$ tels que $F={\bigcap }_{i=1}^n{F}_i\notin {\mathcal{F}}^{\ast }$, alors l'intersection d'éléments de ${\mathcal{F}}^{\ast }\bigcup \{F\}$ est non vide, et il contient $\mathcal{F}$ tout en étant strictement plus grand que ${\mathcal{F}}^{\ast }$: absurde par maximalité de celui-ci.

Par un argument similaire, on en déduit que (L2): si un ensemble intersecte tous les éléments de ${\mathcal{F}}^{\ast }$, alors il appartient à ${\mathcal{F}}^{\ast }$.

Soit U ouvert de ${\prod }_{\alpha \in A}{X}_{\alpha }$ contenant x: il existe $U_{{\alpha }_1},..,U_{{\alpha }_n}$ ouverts respectifs de $X_{{\alpha }_1},..,X_{{\alpha }_n}$ tels que $U=U_{{\alpha }_1}\times ..\times U_{{\alpha }_n}\times {\prod }_{\alpha \ne {\alpha }_{\mathrm{1..}n}}{X}_{\alpha }$.

Alors soit$1\le i\le n$, on a $x_{{\alpha }_i}\in U_{{\alpha }_i}$, ainsi $\forall F\in {\mathcal{F}}^{\ast },\overline{p_{{\alpha }_i}(F)}\bigcap U_{{\alpha }_i}\ne \varnothing$, or $U_{{\alpha }_i}$ ouvert donc $p_{{\alpha }_i}(F)\bigcap U_{{\alpha }_i}\ne \varnothing$, donc $F\bigcap p_{{\alpha }_i}^{-1}(U_{{\alpha }_i})\ne \varnothing$. Alors par (L2), $p_{{\alpha }_i}^{-1}(U_{{\alpha }_i})\in {\mathcal{F}}^{\ast }$.

Donc par (L1), $U={\bigcap }_{i=1}^n{p}_{{\alpha }_i}^{-1}(U_{{\alpha }_i})\in {\mathcal{F}}^{\ast }$, donc U intersecte tous les éléments de ${\mathcal{F}}^{\ast }$, a fortiori de $\mathcal{F}$.

Ainsi x est dans l'adhérence de tous les éléments de $\mathcal{F}$ qui sont fermés, donc x appartient à tous les éléments de $\mathcal{F}$ dont l'intersection est donc non vide, ce qui achève la preuve.

On peut donner une démonstration élégante de ce théorème en utilisant la théorie des filtres

Nous avons précédemment évoqué l'équivalence du théorème de Tychonov avec l'axiome du choix. Cette équivalence, bien qu'a priori surprenante, se comprend mieux en remarquant que l'on peut définir une topologie sur un ensemble quelconque. En l'occurrence, nous allons utiliser une légère variante de la topologie cofinie, qui possède une propriété très intéressante: tout espace est compact pour la topologie cofinie.

Soit donc $(A_i{)}_{i\in I}$ une famille d'ensemble, nous voulons montrer ${\prod }_{i\in I}{A}_i\ne \varnothing$. On suppose, quitte à réindexer par un ensemble I' que $\forall i\in I,i\notin A_i$. Alors, on pose $X_i=A_i\bigcup i$, et on munit X_i de la topologie τ_i formée de l'ensemble vide, de tous les ensembles de complémentaire fini, et du singleton {i} (On vérifiera qu'on a alors bien une topologie, et que X_i est alors compact). Par Tychonov, le produit X des X_i est compact.

On remarque que, en notant p_i la projection sur X_i, on a: ${\prod }_{i\in I}{A}_i={\bigcap }_{i\in I}{p}_i^{-1}(A_i)$. Or X est compact: pour montrer que ${\bigcap }_{i\in I}{p}_i^{-1}(A_i)\ne \varnothing$ on va se servir de la contraposée de la propriété de Borel-Lebesgue pour les fermés: si chaque $p_i^{-1}(A_i)$ est fermé et que toute intersection finie de $p_i^{-1}(A_i)$ est non vide, alors l'intersection des $p_i^{-1}(A_i)$ est non vide, ce qui achèvera la preuve.

Or $\forall i\in I$comme A_i est le complémentaire de {i} ouvert, A_i est fermé. Donc par continuité de la projection p_i, $p_i^{-1}(A_i)=A_i\times {\prod }_{k\ne i}{X}_i$ est fermé. De plus soit $i_1..i_n\in I$, alors ${\bigcap }_{k=1}^n{p}_{i_k}^{-1}(A_{i_k})=A_{i_1}\times ..\times A_{i_n}\times {\prod }_{i\notin \{i_1..i_n\}}{X}_i$ qui est non vide: en effet en choisissant a₁..a_n éléments respectifs de A₁..A_n on peut définir $f:I\to ({\bigcup }_{k=1}^n{A}_{i_k})\bigcup ({\bigcup }_{i\notin \{i_1..i_n\}}{X}_i)$ par f(i₁) = a₁..f(i_n) = a_n et f(i) = i si $i\notin \{i_1..i_n\}$: on a donc bien la propriété annoncée.