Théorèmes de Carnot

Le terme de théorème de Carnot peut renvoyer à des propositions très différentes et le nom de Carnot ne désigne pas la même personne selon les cas.

On peut citer trois utilisations :

• Le théorème de Carnot en thermodynamique, aussi appelé égalité de Clausius-Carnot que l'on retrouve dans le cycle de Carnot. Dans ce cas, il s'agit de Nicolas Léonard Sadi Carnot, physicien et ingénieur français (1796-1832).
• Le théorème de Carnot de géométrie euclidienne portant sur une égalité algébrique de distances dans une construction faisant appel au cercle inscrit et au cercle circonscrit à un triangle ; que l'on peut aussi retrouver sous le nom de théorème japonais de Carnot. Il s'agit ici de Lazare Nicolas Marguerite Carnot, mathématicien, physicien, général et homme politique français. (1753-1823).
• Le théorème de Carnot de géométrie euclidienne portant sur une courbe algébrique de degré n sécante à un triangle, généralisation d'un théorème de Ménélaüs d'Alexandrie. Il s'agit ici encore de Lazare Nicolas Marguerite Carnot.

En 1800, un samouraï anonyme accrochait au mur d'un temple une tablette de bois sur laquelle était gravé un sangaku, problème de géométrie dédié à une divinité (un kami) et proposé à la sagacité des fidèles. En 1803, Lazare Carnot publiait sa Géométrie de position. Hasard de l'Histoire, un théorème de cet ouvrage permet de résoudre élégamment le sangaku précité.

Énoncé

Théorème de Carnot — Soit un triangle ABC et son cercle circonscrit de centre D et de rayon R. La somme des distances "signées" du centre D aux côtés du triangle est donnée par :

où r est le rayon du cercle inscrit au triangle et F, G, H les projetés orthogonaux de D respectivement sur les côtés [A**C], [A**B] et [B**C]

Triangle obtusangle	Triangle acutangle
$|\overline{GD}|+|\overline{HD}|-|\overline{FD}|=|\overline{AD}|+|\overline{EI}|=R+r$	$|\overline{GD}|+|\overline{HD}|+|\overline{FD}|=|\overline{AD}|+|\overline{EI}|=R+r$

Le théorème de Carnot s'énonce ainsi :

Étant donnée une courbe algébrique quelconque de degré n qui coupe un triangle ABC, soit A1 (resp. B1 et C1) le produit des n distances, réelles ou imaginaires, de A (resp. B et C) aux n points d'intersection de la courbe avec le côté A**B (resp. B**C et C**A), et soient de même A2, B2 et C2 les produits semblables associés aux côtés A**C, B**A et C**B. Alors A1B1C1 = A2B2C2.