Hyperplan

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, les hyperplans sont des sous-espaces vectoriels particuliers.

Soit E un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et H un sous-espace vectoriel de E.

On dit que H est un hyperplan de E si H est de codimension 1.

Remarques :

• Dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces vectoriels de dimension n-1.
• Dans ${\mathbb{R}}^3$, la notion d'hyperplan est confondue avec celle de plan, mais ce n'est plus vrai quand la dimension de l'espace est supérieure à 3.

On montre l'équivalence des propriétés suivantes :

• H est un hyperplan
• Il existe une droite D telle que $E=H\oplus D$
• $\forall e\in E\backslash H,E=H\oplus e\mathbb{K}$

On montre que les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles.

C'est-à-dire : H est un hyperplan de E

Interprétation de ce résultat dans le $\mathbb{R}$-espace vectoriel ${\mathbb{R}}^3$ :

Toutes les formes linéaires sur ${\mathbb{R}}^3$ peuvent s'écrire sous la forme suivante : $\varphi :{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R},(x,y,z)\mapsto ax+by+cz$ avec $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$ fixé. Le résultat précédent nous indique que tout hyperplan de ${\mathbb{R}}^3$ peut s'écrire comme le noyau d'une forme linéaire. Autrement dit $H=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3/\varphi (x,y,z)=ax+by+cz=0\}$

Ce lien entre hyperplan et noyau d'une forme linéaire exprime en fait la notion d'équation d'un hyperplan, donc ici d'un plan (vectoriel).

• Dans $E={\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans $\mathbb{K}$. L'ensemble des matrices de trace nulle $H=\{A\in E/\mathrm{Tr}A=0\}$ est un hyperplan de E.

• Dans $E=\mathbb{K}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée. L'ensemble des polynômes divisibles par X: $H=\{P\in E/P(0)=0\}$ est un hyperplan de E.

Pour ces deux exemples, la démonstration est immédiate en utilisant le résultat sur les formes linéaires: le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie.

On peut représenter ce sous-espace comme une intersection finie d'hyperplans indépendants. Ce théorème est détaillé dans l'article espace dual.