Transformation par polaires réciproques

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la transformation par polaires réciproques est une transformation associant à une courbe une autre courbe, construite à l'aide des droites tangentes à la première.

Soit A,B,C,D un quadrilatère et M l'intersection des diagonales.

Les quatre points sont cocycliques si et seulement si $\overline{MA}\cdot \overline{MB}=\overline{MC}\cdot \overline{MD}.$

Soit toujours $\mathcal{C}(\Omega ,R)$ un cercle, d'un point M extérieur au cercle on mène les deux tangentes à $\mathcal{C}$. Soit T,T' les points de contact.

PROPRIÉTÉ : Si $I=(M\Omega )\cap (T{T}^{\prime })$ alors [M,I] divise harmoniquement [*AB*].**

PROPRIÉTÉ : Le point d'intersection de (*TT*') avec toute corde issue de M divise harmoniquement la corde.** [*MI*] divise harmoniquement [A**B]**

Cette droite (T**T') possède donc les propriétés suivantes :

1. Toute corde [A**B] au cercle, issue d'un point M extérieur à ce cercle, coupe cette droite en un point I tel que [M**I] divise harmoniquement [A**B];
2. Cette droite et l'ensemble des conjugués harmoniques de M par rapport au cercle;
3. Pour tout point I de cette droite, le cercle de diamètre [M**I] est orthogonal au cercle de départ (cf. cerccles orthogonaux);
4. Si O est le centre du cercle, $\overrightarrow{OM}\overrightarrow{OI}=R^2$;
5. Les intersections des diagonales de tous les quadrilatères complets issues de M sont alignés et sont sur cette droite;
6. Si dans un repère centré au centre du cercle, le point M a pour coordonnées (x₀,y₀), l'équation de cette droite est x₀X + y₀Y = R.

Définitions

Définition : Étant donné un point M et un cercle $\mathcal{C}$, on nomme polaire de M par rapport à $\mathcal{C}$, l'ensemble des conjugués harmoniques de M par rapport à $\mathcal{C}$.

Par conséquent si M est extérieur au cercle, c'est la droite (T**T').

Réciproquement, toute droite du plan est la polaire d'un point unique nommé "pôle" de la droite.

Polaire et pôle sont reliés analytiquement par la relation : x₀X + y₀Y = R lorsque l'origine du plan est au centre du cercle.

Géométriquement, si la droite $\mathcal{D}$ coupe le cercle, son pôle ne peut être que le point d'intersection des tangentes au cercle au point $\mathcal{D}\cap \mathcal{C}$. Si la droite ne coupe pas le cercle, on projette le centre O du cercle sur la droite en I; M est alors le conjugué de I par rapport au cercle, ou bien le projeté sur (O**I) d'un point de contact d'une tangente à $\mathcal{C}$ issue de I, puisqu'il est alors sur la polaire de I.

Intersection et alignement

La "polarisation" échange les notions de droites concourantes et de droite passant par deux points.

PROPRIÉTÉ Soit M₁,M₂ deux points (non alignés avec le centre du cercle); si D₁,D₂ désignent les polaires de ces points, alors $D_1\cap D_2$ est le pôle de la droite (M₁M₂). (Si M₁,M₂ sont alignés avec O on obtient le point à l'infini dans la direction perpendiculaire à (M₁M₂)).

PROPRIÉTÉ Soit D₁,D₂ deux droites, M₁,M₂ leur pôles alors la droite (M₁M₂) est la polaire du point $D_1\cap D_2$.

Il y a deux façons naturelles de définir la polaire d'une courbe.

Ou bien à un point M de la courbe on associe sa polaire puis l'on considère l'enveloppe de ces polaires ou bien on considère le lieu formé par les pôles des tangentes à la courbe. Ces deux notions coincident.

Soit (x(t),y(t)) une courbe du plan, la tangente a pour équation X**y' − Y**x' = x**y' − y**x' son pôle a donc pour coordonnées

$X_0(t)=\frac{R^2{y}^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}$ et $Y_0(t)=\frac{-R^2{x}^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}.$

La polaire du point (x(t),y(t)) a pour équation X**x(t) + Y**y(t) = R. L'enveloppe de cette famiille de droites est déterminée par les équations qui donne précis&ément les mêmes expressions que précédemment.

La "polarisation" échange donc les notions de point d'une courbe et de tangente à la courbe.

PROPRIÉTÉ : La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.