Transformation par polaires réciproques - Définition
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Polaire d'une conique
PROPRIÉTÉ : La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.
L'origine étant prise au foyer, on définit la conique par son équation polaire
La distance du foyer à la tangente vaut
Les coordonnées du pôle sont donc
![x=\frac{R^2}d\cos(\theta+V+\frac\pi2)=\frac{R^2}\rho\Big[\frac{\sin\theta}{\tan V}+\cos\theta\Big]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/e3e474ba43feb61e2994fd8cc7a6e670_38beeb19452d931639cb6de261fc94b5.png)
et
![y=\frac{R^2}d\sin(\theta+V+\frac\pi2) =\frac{R^2}\rho\Big[\frac{\sin\theta}{\tan V}+\cos\theta\Big]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/975d7058c69856cca2ee0e549455ce80_157d791f7696f39fdb20c3985a722ed2.png)
Mais
d'où
![x=\frac{R^2}p(1-e\cos\theta)\Big[\frac{e\sin^2\theta}{1-e\cos\theta}+\cos\theta\Big]=\frac{R^2}p(\cos\theta-e)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/8/8f7eb9aca1d4baaa55dc78ef38664d97_37c95cdb0fe24a3cd813c060a9dbb515.png)
et
![y=-\frac{R^2}p(1-e\cos\theta)\Big[-\frac{e\sin\theta\cos\theta}{1-e\cos\theta}-\sin\theta\Big] =-\frac{R^2}p\sin\theta](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/c/c21c153a37b75a962d3ea486e1e782a5_4e4cdfc0ee3e7d6f93117b73ff182174.png)
d'où il résulte sans peine :
On obtient donc bien un cercle de centre
