Trigonométrie complexe
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Extension des fonctions circulaires

Dans le corps des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi :

\sin z = \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {2i} = \frac {\sinh iz} {i} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k+1}} {(2k+1)!}}
\cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2} = {\cosh iz}  = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k}} {(2k)!}}
\tan z = \frac {\sin z} {\cos z} = -i  \frac {\sinh iz} {\cosh iz} = -i \tanh iz = -i \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {e^{iz} + e^{-iz}}

De même que leurs fonctions réciproques :

\arcsin z = -i \ln \left( i z + \sqrt { 1-z^2} \right)
\arccos z = -i \ln \left( z + \sqrt {z^2-1} \right)
\arctan z = \frac i 2 \Big( \ln(1 - iz) - \ln(1+iz) \Big)

Ces fonctions souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif différent de 1 est une fonction de ce...) complexe.

Sujets liés

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