Fonction hyperbolique
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En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les nom de sinus, cosinus et tangente proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (ou circulaires) et le terme de hyperbolique provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines...) x2y2 = 1.

Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral (Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.), la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces (géométrie...) hyperbolique.

Histoire

Les fonctions hyperboliques ont été inventées par le jésuite Vincenzo Riccati (Vincenzo Riccati est un mathématicien italien jésuite né en 1707 à Castelfranco Veneto et mort en 1775 à Trévise . Il est le fils du mathématicien et physicien Jacopo Riccati dont il a publié et...) dans les années 1760 alors qu'il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l'aire sous l'hyperbole d'équation x2y2 = 1. La méthode géométrique qu'il employa alors était très similaire à celle que l'on peut utiliser pour calculer l'aire d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) d'équation x2 + y2 = 1. Le calcul de l'aire du cercle fait intervenir les fonctions trigonométriques classiques que Riccati nommait cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de...) et sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies...) circulaires. Par analogie, il appela alors les fonctions qu'il venait de créer cosinus et sinus hyperboliques. Ce fut un choix heureux, car cette ressemblance ne s'arrête pas à la méthode de calcul d'aire mais aussi à toutes les formules trigonométriques. Cependant, pourtant au fait du travail de son contemporain Euler, il n'utilisa pas la fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme...) pour les définir mais seulement des considérations géométriques. L'autre grand mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale....) ayant étudié les fonctions hyperboliques est Johann Heinrich Lambert (Johann Heinrich Lambert (26 août 1728 à Mulhouse - 25 septembre 1777 à Berlin) est un mathématicien, physicien et astronome alsacien du XVIIIe siècle, en fait suisse et allemand d’ascendance française, car né à Mulhouse...) qui en fit une étude complète en 1770. Cette quasi simultanéité (La notion de simultanéité est intuitive dans un univers, celui de Newton, où le temps est absolu et où temps et espace sont indépendants. Dans l'univers de la...) fait que l'on attribue parfois à Lambert la paternité des fonctions hyperboliques bien que les écrits de Riccati lui soient antérieurs de quelques années.

Définitions

Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions :

Sinus hyperbolique
Sinus hyperbolique
Cosinus hyperbolique
Cosinus hyperbolique
Tangente hyperbolique
Tangente hyperbolique

Sinus hyperbolique

Définie comme étant la partie impaire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par:

\sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}

sinh – ou sh – est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...) de classe C^\infty de \R dans \R strictement croissante, et impaire. Sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) est le cosinus hyperbolique. Son application réciproque (En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une application donnée »....) s'appelle argument sinus hyperbolique et est notée argsinh ou argsh.

Cosinus hyperbolique

Définie comme étant la partie paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par:

\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}

cosh – ou ch – est une application de \R dans [1;+\infty[ strictement croissante sur \R^+, et paire. cosh est de classe C^{\infty} sur \R et sa dérivée est le sinus hyperbolique. Sa restriction à \R^+ est une bijection dont l'application réciproque (La réciproque est une relation d'implication.), argument cosinus hyperbolique, est notée argcosh ou argch.

Tangente hyperbolique

Définie par :

\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}

tanh – ou th – est une bijection de classe C^\infty de \R dans ] − 1;1[ strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est \tfrac{1}{\cosh^2} = 1-\tanh^2. Son application réciproque s'appelle argument tangente hyperbolique et est notée argtanh ou argth.

Cotangente hyperbolique

Définie par :

\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}

coth est une bijection de classe C^\infty de \R^* dans ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[. Sa dérivée est \tfrac{-1}{\sinh^2}=1-\coth^2. Son application réciproque, argument cotangente hyperbolique, est notée argcoth.

Sécante hyperbolique

Définie par :

\forall x \in \R,\quad\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}

Cosécante hyperbolique

Définie par :

\forall x \in \R^*,\quad\operatorname{cosech}(x) = \frac{1}{\sinh(x)}

Propriétés

Par construction,

\qquad  e^{+x} = \cosh(x) + \sinh(x)
\qquad  e^{-x} = \cosh(x) - \sinh(x)

Ainsi, la formule suivante est vraie pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel x :

(cosh(x))2 − (sinh(x))2 = 1

De même que les points (cos x, sin x) décrivent un cercle lorsque x parcourt \R, les points (cosh x, sinh x) décrivent une branche d'hyperbole ;

Le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) x ne peut pas être interprété comme un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.), ni comme une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) d'arc ; les fonctions hyperboliques ne sont pas des fonctions périodiques.

La fonction cosh admet 1 pour minimum, pour x = 0.

La fonction sinh est impaire et ainsi sinh(0) = 0.

Les fonctions hyperboliques satisfont à des relations, très ressemblantes aux identités trigonométriques. En fait, la règle d'Osborne dit que l'on peut convertir n'importe quelle identité trigonométrique (Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables...) en une identité hyperbolique en la développant complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant...) à l'aide de puissances entières de sinus et cosinus, changeant sin en sinh et cos en cosh, et remplaçant le signe de chaque terme qui contient un produit de deux sinus en son opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont...).

Cela nous permet d'obtenir par exemple, les relations pour les sommes :

sinh(x + y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y)
cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)

et des "formules d'angle moitié" :

\cosh\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cosh(x)}{2}}
\sinh\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{\cosh(x)-1}{2}}

La fonction cosinus hyperbolique est convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet....). Elle intervient dans la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la chaînette (En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses...), laquelle correspond à la forme que prend un câble suspendu à ses extrémités et soumis à son propre poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé...).

Puisque la fonction exponentielle peut être prolongée à l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des nombres complexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à l'ensemble des nombres complexes. Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont alors holomorphes et même entières.

De la formule d'Euler, on obtient immédiatement:

\cos(x) = \cosh(\imath x)
\sin(x) = -\imath\sinh(\imath x)

Ou encore:

\cosh(x) = cos(\imath x)
\sinh(x) = -\imath\sin(\imath x)

Applications réciproques

Argument sinus hyperbolique

argsinh
argsinh

argsinh – ou argsh – est l'application réciproque de sinh. C'est une bijection de \R dans \R, impaire et strictement croissante. argsinh est dérivable sur \R et sa dérivée est x \mapsto \tfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}. argsinh admet une forme logarithmique, c’est-à-dire qu'il peut se mettre sous la forme d'un logarithme :

\arg\sinh(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 +1 }\right)

Argument cosinus hyperbolique

Argument cosinus hyperbolique
Argument cosinus hyperbolique

argcosh est l'application réciproque de la restriction de cosh dans \R^+. C'est une bijection de [1,+\infty[ dans \R^+, strictement croissante. argcosh est dérivable sur ]1,+\infty[ et sa dérivée est x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}. argcosh admet une forme logarithmique:

\arg\cosh(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 -1}\right)

Argument tangente hyperbolique

Argument tangente hyperbolique
Argument tangente hyperbolique

argtanh – ou argth – est l'application réciproque de tanh. C'est une bijection de ] − 1;1[ dans \R, impaire, strictement croissante. argtanh est dérivable sur ] − 1;1[ et sa dérivée est x \mapsto \tfrac{1}{1-x^2}. argtanh admet une forme logarithmique :

\arg\tanh(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)

Argument cotangente hyperbolique

argcoth est l'application réciproque de coth. C'est une bijection de ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[ dans \R^*. argcoth est dérivable sur ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[ et sa dérivée est x \mapsto \tfrac{1}{1-x^2}. argcoth admet une forme logarithmique :

\arg\coth(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)
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