Logarithme
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Graphe de la fonction logarithme
Graphe de la fonction logarithme "log10"

En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur ] 0;  + \infty[ à valeurs dans \R, continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif différent de 1 est une fonction de ce type qui vérifie en outre loga(a) = 1.

Les fonctions logarithmes les plus connues sont le logarithme décimal (Le logarithme décimal ou log10 est le logarithme de base dix. Il est défini en tous les réels strictement positifs x.) (ou logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif différent de 1 est...) de base 10) et le logarithme naturel (En mathématiques le logarithme naturel ou logarithme népérien, est le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur ...) ou népérien de base e. Les logarithmes ont été par la suite généralisés au plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) (logarithmes complexes) par prolongement analytique et introduits en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent...) des groupes (logarithmes discrets) par analogie avec l'analyse.

On démontre que les fonctions logarithmes sont les réciproques des fonctions exponentielles.

Historique des logarithmes

En 1588, pour faciliter ses calculs, l'astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) suisse Jost Bürgi développa le premier système logarithmique connu.

Lorsqu'en 1614, John Napier ou Neper (Le neper (symbole Np), bien qu'en dehors du système international (SI), est en usage avec lui. Le neper est utilisé pour exprimer la valeur de grandeurs logarithmiques telles que le...) publie son traité Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, il ne songe pas qu'il est en train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de plusieurs voitures (pour transporter des personnes) et/ou de plusieurs wagons (pour transporter des marchandises), et peut...) de créer de nouvelles fonctions, mais seulement des tables de correspondances (logos = rapport, relation, arithmeticos = nombre) entre deux séries de valeurs possédant la propriété suivante : à un produit dans une colonne, correspond une somme dans une autre. Ces tables de correspondances ont été créées initialement pour simplifier les calculs trigonométriques apparaissant dans les calculs astronomiques et seront utilisées quelques années plus tard par Kepler. En 1619, apparaît une œuvre posthume de Neper Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, où il explique comment construire une table logarithmique (voir l'article table de logarithmes pour en comprendre le principe). Son travail sera poursuivi et prolongé par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre...) anglais Henry Briggs qui publie les tables de logarithmes décimaux et précise les méthodes d'utilisation des tables pour calculer des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être...), retrouver des angles de tangentes... Le logarithme décimal est parfois appelé logarithme de Briggs en son honneur.

En 1647, lorsque Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole, il met en évidence une nouvelle fonction qui se trouve être la primitive de la fonction x \to 1/x s'annulant en 1 mais c'est seulement Huygens en 1661 qui remarquera que cette fonction se trouve être une fonction logarithme particulière : le logarithme naturel.

La notion de fonction, la correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) entre les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes n'apparaissent que plus tardivement après le travail de Leibniz sur la notion de fonction (1697).

Logarithme décimal

  • Voir article détaillé : logarithme décimal

C'est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques, il est noté log ou log10. On le retrouve dans la création des échelles logarithmiques, les repères semi-logarithmiques ou log-log, dans la règle à calcul, dans le calcul du pH, dans l'unité du décibel.

Il précise à quelle puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de 10 correspond un nombre :

log(10) = 1, log(100) = 2, log(1000) = 3, log(0,01) = – 2.

Reste que la valeur du logarithme d'autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de log(2) par exemple peut se faire à la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce dernier par le poignet. C'est un organe destiné...), en remarquant que 2^{10} \approx 1000 donc 10\log(2) \approx 3 donc \log(2) \approx 0,3

Logarithme naturel

  • Voir article détaillé : logarithme naturel

C'est le logarithme dont la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une...) est la plus simple. C'est d'ailleurs le fait qu'il soit une primitive de x \to 1/x qui lui a donné cette importance. Il est noté Log ou ln. En revanche, quand il a fallu chercher la base de ce logarithme, les mathématiciens ne sont pas tombés sur une valeur très simple : la base de ce logarithme est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».), ni décimal, ni rationnel, ni algébrique : c'est le nombre transcendant e \approx 2,718 281 \cdots.

Remarque : ce logarithme est également nommé Logarithme népérien

Propriétés des fonctions logarithmes

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel a strictement positif et différent de 1, le logarithme de base a : \log_a\, est la fonction continue définie sur ]0 ; + \infty[ vérifiant, pour tous x et y réels strictement positifs

\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\, et log_a(a) = 1\,

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) permet de déduire rapidement les propriétés suivantes

\log_a(1) = 0\,
\log_a(x/y) = \log_a(x) - \log_a(y)\,
\log_a(x^n)=n \log_a(x)\,
\log_a(a^n) = n\, pour tout entier naturel n, puis pour tout entier relatif n
\log_a(a^r) = r\, pour tout rationnel r.

Comme tout réel x peut être considéré comme limite de termes de la forme a^{r_n}\,, on détermine log_a(x)\, comme la limite de r_n\,.

Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d'une constante multiplicative près:

\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}
\log_a(b)\log_b(x) = \log_a(x)\,

En effet logb est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en b, mais la fonction \frac{\log_a}{\log_a(b)} est aussi une fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en b. Les deux fonctions sont donc identiques.

Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s'exprimer à l'aide d'une seule, une dont on connaît déjà la dérivée : ln

\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}

La fonction loga est dérivable de dérivée:

\log_a'(x) =  \frac{1}{x\ln(a)}

Elle est donc strictement monotone, croissante quand a est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire.

C'est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel...) dont la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est la fonction x \to a^x

Curiosité mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...): avec une erreur inférieure à 0,6%

\log_2(x) \approx \log_{10}(x) + \ln(x)\,.
  • Pour un inventaire de toutes les propriétés voir article détaillé : identités logarithmiques
Page générée en 0.322 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique