Nombre complexe - Définition

Introduction

Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les nombres complexes furent introduits au XVI^e siècle par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana, dit Tartaglia, et Ludovico Ferrari afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des nombres de carré négatif, ainsi que les solutions des équations du quatrième degré (méthode de Ferrari).

L'ensemble des sommes et produits de nombres réels et du nombre imaginaire i (les nombres de la forme a + i.b) satisfait les propriétés d'une structure de corps commutatif qui contient le corps des réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note . Il est muni de l'application module qui généralise la valeur absolue des nombres réels mais ne peut pas être ordonné totalement de façon compatible avec sa structure de corps.

Ce n'est qu'à partir du XIX^e siècle que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes, vus comme des éléments ou des transformations du plan, sous l'impulsion de l'abbé Buée et de Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy.

En algèbre, le théorème de d'Alembert-Gauss identifie le degré d'un polynôme complexe non nul au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multiplicité. Le corps des nombres complexes est donc algébriquement clos.
En analyse, l'exponentielle complexe permet de simplifier l'étude des séries de Fourier puis de définir la transformée de Fourier. La branche de l'analyse complexe concerne l'étude des fonctions dérivables au sens complexe, appelées fonctions holomorphes.
En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d'oscillateurs électriques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme (Re(e^iωt) représentant une onde).

L'ensemble de Mandelbrot (en noir), illustration d'un système dynamique dans le plan complexe

Description

Représentation d'un nombre complexe dans l'espace à deux dimensions [en rouge], sous forme cartésienne [en bleu] (avec deux nombres réels) et sous forme polaire [en vert] (avec une longueur et un angle).

Notations des nombres complexes

Les nombres complexes, notés habituellement z, peuvent ainsi être présentés de plusieurs manières :

• forme cartésienne,
  • algébrique :
  • ou vectorielle :
• forme en coordonnées polaires :
  • exponentielle
  • ou vectorielle :
  • ou trigonométrique :

Forme cartésienne

Forme cartésienne d'un nombre complexe

Un nombre complexe se présente en général en coordonnées cartésiennes, comme une somme , où a et b sont des nombres réels quelconques et (l’unité imaginaire) est un nombre particulier tel que .
Le réel a est appelé partie réelle de z et se note ou , le réel b est sa partie imaginaire et se note ou .
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme z = bi. Un nombre complexe dont la partie imaginaire vaut 0 est assimilé à un nombre réel.
Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur, mais la plupart des nombres complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs.

L'addition et la multiplication sur les nombres complexes ont les mêmes propriétés d'associativité, de commutativité et de distributivité que sur les nombres réels. Les règles de calcul s'écrivent donc :

•  ;
• .

En particulier, cette formule permet d'obtenir l'égalité suivante : .

Puisque la somme a²+b² de deux carrés de nombres réels est un nombre réel strictement positif (sauf si a = b = 0), il existe un inverse à tout nombre complexe non nul avec l'égalité :

Cette fraction fait apparaître deux expressions importantes pour le nombre complexe :

• son conjugué est aussi un nombre complexe ;
• son module est un nombre réel positif.

L'application de conjugaison est un automorphisme involutif : , et .
L'application module est une valeur absolue car elle est strictement positive en dehors de 0, sous-additive et multiplicative .

Les réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leur conjugué. Les réels positifs sont les seuls complexes égaux à leur module.
Le nombre 0 est le seul nombre complexe dont le module vaut 0.

Forme polaire

Plan complexe

Représentation géométrique d'un nombre complexe

Dans un plan affine muni d'un repère orthonormé , l'image d'un nombre complexe est le point M de coordonnées (a,b), son image vectorielle est le vecteur . Le nombre z est appelé affixe du point M ou du vecteur (affixe est féminin : une affixe).

Le module est alors la longueur du segment .
Si z est différent de 0, son image est distincte de l'origine O du repère. On appelle alors argument de z et on note n'importe quelle mesure de l'angle , bien définie à un multiple de 2π près.

Par exemple, les réels strictement positifs ont un argument multiple de 2π, les réels strictement négatifs ont pour argument un multiple impair de π.
Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru à ou modulo 2π, selon le signe de leur partie imaginaire.

Le plan , muni de son repère orthonormé et des actions des nombres complexes par addition et multiplication, est appelé plan complexe. Puisque tous les plans complexes sont canoniquement isomorphes, on parle du plan complexe sans préciser davantage.

Coordonnées polaires

Le module et l'argument d'un nombre complexe correspondent aux coordonnées polaires (r,θ) de son image dans le plan complexe. En écrivant les coordonnées cartésiennes à partir des coordonnées polaires, tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique avec .

La formule d'Euler permet de compacter cette écriture sous une forme exponentielle .
Le conjugué s'écrit alors simplement .

Cette écriture est en outre adaptée au calcul du produit de deux nombres complexes du fait des propriétés multiplicatives de la fonction exponentielle :

• ,
• .

Interprétation géométrique des opérations

Soit z et z' deux nombres complexes d'images respectives M et M'.

• L'image de la somme est définie par la relation .
  L'action d'un nombre complexe par addition s'interprète géométriquement comme une translation selon le vecteur image.
• Soit λ un nombre réel, l'image M₁ du produit est défini par la relation .
  L'action du nombre réel λ par multiplication scalaire s'interprète géométriquement comme une homothétie de centre O et de rapport λ sur le plan complexe.
• Si z est de module 1 et d'argument θ, l'image du produit est définie par les relations de longueurs et d'angles .
  L'action d'un nombre complexe de module 1 par multiplication s'interprète géométriquement comme une rotation de centre l'origine et d'angle l'argument.
• Par composition d'une homothétie et d'une rotation, l'action d'un nombre complexe z non nul par multiplication s'interprète géométriquement comme une similitude directe de centre l'origine, de rapport et d'angle .
• L'image du conjugué de est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.
• L'image de l'inverse de est l'image de M par l'inversion par rapport au cercle unité, composée avec la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.