Nombre complexe - Définition et Explications

Introduction

Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les nombres complexes furent introduits au XVI^e siècle par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli (Raphaël Bombelli (Bologne, Italie, 1526-1572) est un mathématicien italien.), Nicolo Fontana, dit Tartaglia, et Ludovico Ferrari (Lodovico Ferrari (Louis Ferrari), (2 février 1522 - 5 octobre 1565) est un mathématicien italien.) afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des nombres de carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) négatif, ainsi que les solutions des équations du quatrième degré (méthode de Ferrari).

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des sommes et produits de nombres réels et du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) imaginaire i (les nombres de la forme a + i.b) satisfait les propriétés d'une structure de corps commutatif qui contient le corps des réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note . Il est muni de l'application module qui généralise la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) des nombres réels mais ne peut pas être ordonné totalement de façon compatible avec sa structure de corps.

Ce n'est qu'à partir du XIX^e siècle que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes, vus comme des éléments ou des transformations du plan, sous l'impulsion de l'abbé Buée et de Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy.

En algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...), le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de d'Alembert-Gauss identifie le degré d'un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) complexe non nul au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multiplicité. Le corps des nombres complexes est donc algébriquement clos.
En analyse, l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...) complexe permet de simplifier l'étude des séries de Fourier puis de définir la transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour...). La branche de l'analyse complexe concerne l'étude des fonctions dérivables au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) complexe, appelées fonctions holomorphes.
En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d'oscillateurs électriques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude...) (Re(e^iωt) représentant une onde).

Description

Notations des nombres complexes

Les nombres complexes, notés habituellement z, peuvent ainsi être présentés de plusieurs manières :

• forme cartésienne,
  • algébrique :
  • ou vectorielle :
• forme en coordonnées polaires :
  • exponentielle
  • ou vectorielle :
  • ou trigonométrique :

Forme cartésienne

Un nombre complexe se présente en général en coordonnées cartésiennes, comme une somme , où a et b sont des nombres réels quelconques et (l’unité imaginaire) est un nombre particulier tel que .
Le réel a est appelé partie réelle de z et se note ou , le réel b est sa partie imaginaire et se note ou .
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme z = bi. Un nombre complexe dont la partie imaginaire vaut 0 est assimilé à un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...).
Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur, mais la plupart des nombres complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs.

L'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) sur les nombres complexes ont les mêmes propriétés d'associativité, de commutativité et de distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z...) que sur les nombres réels. Les règles de calcul s'écrivent donc :

•  ;
• .

En particulier, cette formule permet d'obtenir l'égalité suivante : .

Puisque la somme a²+b² de deux carrés de nombres réels est un nombre réel strictement positif (sauf si a = b = 0), il existe un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) nombre complexe non nul avec l'égalité :

Cette fraction fait apparaître deux expressions importantes pour le nombre complexe :

• son conjugué est aussi un nombre complexe ;
• son module est un nombre réel positif.

L'application de conjugaison est un automorphisme involutif : , et .
L'application module est une valeur absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un...) car elle est strictement positive en dehors de 0, sous-additive et multiplicative .

Les réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leur conjugué. Les réels positifs sont les seuls complexes égaux à leur module.
Le nombre 0 est le seul nombre complexe dont le module vaut 0.

Forme polaire

Plan complexe

Dans un plan affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) muni d'un repère orthonormé , l'image d'un nombre complexe est le point (Graphie) M de coordonnées (a,b), son image vectorielle est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) . Le nombre z est appelé affixe du point M ou du vecteur (affixe est féminin : une affixe).

Le module est alors la longueur du segment .
Si z est différent de 0, son image est distincte de l'origine O du repère. On appelle alors argument de z et on note n'importe quelle mesure de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) , bien définie à un multiple de 2π près.

Par exemple, les réels strictement positifs ont un argument multiple de 2π, les réels strictement négatifs ont pour argument un multiple impair de π.
Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru à ou modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi...) 2π, selon le signe de leur partie imaginaire.

Le plan , muni de son repère orthonormé et des actions des nombres complexes par addition et multiplication, est appelé plan complexe. Puisque tous les plans complexes sont canoniquement isomorphes, on parle du plan complexe sans préciser davantage.

Coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...)

Le module et l'argument d'un nombre complexe correspondent aux coordonnées polaires (r,θ) de son image dans le plan complexe. En écrivant les coordonnées cartésiennes à partir des coordonnées polaires, tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique avec .

La formule d'Euler permet de compacter cette écriture sous une forme exponentielle .
Le conjugué s'écrit alors simplement .

Cette écriture est en outre adaptée au calcul du produit de deux nombres complexes du fait des propriétés multiplicatives de la fonction exponentielle :

• ,
• .

Interprétation géométrique des opérations

Soit z et z' deux nombres complexes d'images respectives M et M'.

• L'image de la somme est définie par la relation .
  L'action d'un nombre complexe par addition s'interprète géométriquement comme une translation selon le vecteur image.
• Soit λ un nombre réel, l'image M₁ du produit est défini par la relation .
  L'action du nombre réel λ par multiplication scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) s'interprète géométriquement comme une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à...) de centre O et de rapport λ sur le plan complexe.
• Si z est de module 1 et d'argument θ, l'image du produit est définie par les relations de longueurs et d'angles .
  L'action d'un nombre complexe de module 1 par multiplication s'interprète géométriquement comme une rotation de centre l'origine et d'angle l'argument.
• Par composition d'une homothétie et d'une rotation, l'action d'un nombre complexe z non nul par multiplication s'interprète géométriquement comme une similitude directe de centre l'origine, de rapport et d'angle .
• L'image du conjugué de est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.
• L'image de l'inverse de est l'image de M par l'inversion par rapport au cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) unité, composée avec la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.