Approximation des régimes quasi-stationnaires

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Introduction

En électromagnétisme, l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS, on parle aussi d'ARQP pour « permanents » au lieu de « stationnaires ») consiste à considérer comme négligeable le temps de propagation des ondes électromagnétiques (OEM) devant la période du signal.

Ainsi, pour une OEM sinusoïdale de période temporelle T et de période spatiale λ, telle que λ = c.T (où c désigne la vitesse de l'onde), et pour un observateur situé à une distance D d'un point quelconque du circuit, on est dans le cadre de l'ARQS si D < < λ.

Exemples

Soit un émetteur grandes ondes de fréquence f = 180kHz (T = 5,6μs).

Soit un récepteur situé à une distance D = 10cm de l'émetteur.

Alors, le temps de propagation sera Δt = D / c = 0,33ns.

Δt < < T, donc l'approximation est valable.

Soit un récepteur situé à une distance D = 1km de l'émetteur.

Alors, le temps de propagation sera Δt = D / c = 3,3μs.

Δt n'est plus du tout négligeable devant T, l'approximation n'est donc plus valable.

Conséquence dans l'écriture des équations de Maxwell

L'équation de Maxwell-Ampère :

rot B = μ_{0} j + ε_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}

en régime variable, donne le rotationnel du vecteur champ magnétique comme une somme de deux termes.

Or, dans l'ARQS (c'est-à-dire quand la fréquence est assez faible pour une dimension de circuit donnée), le second terme $ε_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ est en général négligeable devant le premier $μ_{0} j$ (l'exception la plus courante concerne l'espace inter-armatures d'un condensateur, dans lequel $j$ est nul).

L'équation de Maxwell-Ampère devient

$rot B = μ_{0} j$ .

Conséquence pratique : loi des nœuds ou première loi de Kirchhoff

Si on applique l'opérateur divergence à l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

$div (rot B) = div (μ_{0} j)$ .

Ce qui, selon les règles de l'analyse vectorielle, donne :

$div j = 0$ .

On applique ensuite le théorème de Green-Ostrogradski :

$\iiint_{V} \mathrm{div} \overrightarrow{j} \cdot\mathrm d \tau = \iint_{S} \overrightarrow{j} \cdot\mathrm d \vec S \ = I_{\rm\grave a~travers~la~surface~ferm\acute ee} = 0$ .

La somme algébrique des intensités passant par un nœud est donc nulle.