La balistique extérieure est la branche de la balistique qui étudie le vol libre des projectiles sans propulsion interne. Le cas d'application le plus important est l'étude de la trajectoire des balles ou obus tirés par une arme à feu après qu'ils ont quitté le canon de l'arme.
Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article Chute avec résistance de l'air. Il a fait apparaître la notion très importante de vitesse-limite. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.
La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.
Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc .
L'analyse des forces est : poids et résistance fluide de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.
L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t) diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-> - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme échelle de temps:
d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA
On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;
En éliminant dt :
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).
D'où v = V(A), ce qui est l'hodographe en coordonnées polaires.
Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, v tend vers une limite V1 telle que :
| f(V1) = 1 |
On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article chute avec résistance de l'air.
Pour obtenir la trajectoire, il suffit donc d'intégrer l'équation précédente, puis :
Tout s'exprime donc "à une quadrature près" si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695).
Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) > v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. vitesse aréolaire).
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
L'équation (B) de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.
Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la déviation de Coriolis ( cf la Grosse Bertha).
Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!
Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.
L'équation différentielle est :
L'hodographe est donc la droite:
la trajectoire du projectile P est :
{ébauche : aide figure demandée, svp }
La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.
.
Alors , encore une fois , toutes les trajectoires s'expriment à l'aide du seul paramètre k = (Vo/V1)².sinAo . L'hodographe se calcule, mais sans propriété simple, à part sa non-symétrie.
{ L'empirisme le plus total montre que la portée est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)< 0.0025.(Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)}
Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à Vo, alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous "slazsenger" ont même été brevetés, car ils modifient la portance.
Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc "platini" au football le démontre.
Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, ballistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.
L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote.
Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de chute libre avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème dans le vide (cf : parabole de sûreté). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air).
Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°.
Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.
Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par Galilée : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était "composition" des mouvements Vo.t et 1/2 g.t², et que le Vo de départ pouvait être compté comme rien, etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de 1632 et les Discours de 1638.