Application multilinéaire

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Introduction

En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une application à plusieurs variables vectorielles qui est linéaire en chaque variable.

Quelques exemples classiques :

Le produit scalaire est une fonction bilinéaire symétrique à deux variables vectorielles, et qualifiée de forme bilinéaire car à valeur dans le corps de base.
Le déterminant est une fonction multilinéaire antisymétrique des colonnes (ou rangées) d'une matrice carrée.

L'étude systématique des applications multilinéaires permet d'obtenir une définition générale du déterminant, du produit extérieur et de nombreux autres outils ayant un contenu géométrique. La branche de l'algèbre correspondante est l'algèbre multilinéaire. Mais il y a également de très nombreuses applications dans le cadre des variétés, en topologie différentielle.

Forme k-linéaire

Soit k > 1 un entier. Soit E un $K$ -espace vectoriel. Une forme k-linéaire sur E est une application de E dans $K$ , linéaire en chaque variable. Ainsi pour des vecteurs x₁,...,x_k,x'_i et des scalaires a et b

f (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, a x_{i} + b x^{'} i, x i + 1, \dots, x_{k}) = a f (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{k}) + b f (x_{1}, \dots, x_{i}^{'}, \dots x_{k})

Il ne faut pas confondre cette notion avec celle d'application linéaire de E dans $K$ . Pour une telle application on aurait en effet

f (a x_{1} + b x_{1}^{'}, \dots, a x_{k} + b x_{k}^{'}) = a f (x_{1}, \dots, x_{k}) + b f (x_{1}^{'}, \dots, x_{k}^{'})

De façon informelle, il faut se représenter une application k-linéaire comme une application produit de k termes, avec une propriété de type distributivité.

Écriture en composantes

Si l'espace E est de dimension finie n et muni d'une base e₁,...,e_n, on peut décomposer chaque vecteur

x_{j} = i = 1 \sum n X_{i, j} e_{i}

Alors l'expression d'une forme k-linéaire sur le k-uplet x₁,...,x_k devient

f (x_{1}, \dots, x_{k}) = f (i_{1} = 1 \sum n X_{i_{1}, 1} e_{i_{1}}, \dots, i_{k} = 1 \sum n X_{i_{k}, k} e_{i_{k}}) = i_{1} = 1 \sum n \dots i_{k} = 1 \sum n j = 1 \prod k X_{i_{j}, j} f (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}})

La connaissance des n valeurs $f (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}})$ détermine entièrement la forme k-linéaire f.

Les formes k-linéaires sur un espace vectoriel E de dimension n forment donc un espace vectoriel L_k(E), de dimension n.

Forme k-linéaire alternée

Une forme k-linéaire sur E est dite alternée si elle s'annule à chaque fois qu'on l'évalue sur un k-uplet contenant deux vecteurs identiques :

[\exists i \neq = j, x_{i} = x_{j}] \Rightarrow f (x_{1}, \dots, x_{k}) = 0

De façon équivalente, une forme k-linéaire est alternée si elle s'annule sur tous les k-uplets liés.

Antisymétrie

Toute forme k-linéaire alternée est antisymétrique, c'est-à-dire que l'échange de deux vecteurs a pour effet de changer le résultat obtenu en son opposé :

f (x_{1}, \dots, x_{k}) = - f (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{j}, x_{i + 1}, \dots, x_{j - 1}, x_{i}, x_{j + 1}, \dots, x_{k})

Sauf dans le cas où $K$ est un corps de caractéristique deux, la réciproque est vérifiée : toute forme k-linéaire antisymétrique est alternée.

Forme plus générale de la propriété d'antisymétrie

Si f est une forme k-linéaire antisymétrique, on peut effectuer plusieurs échanges de vecteurs successifs. On réalise ainsi une permutation des vecteurs, obtenue comme une succession de transpositions. À chaque étape, le signe est changé en son opposé. Finalement l'effet d'une permutation générale des vecteurs est la multiplication de la valeur obtenue par la signature de la permutation.

\forall σ \in S k, f (x σ (1), \dots, x_{σ (k)}) = ε (σ) f (x_{1}, \dots, x_{k})

Cette propriété s'applique notamment pour les formes k-linéaires alternées.

Forme n-linéaire alternée en dimension n

Dans cette section on étudie le cas particulier k = n qui permet de construire le déterminant.

Si l'espace E est de dimension finie n et muni d'une base e₁,...,e_n, on peut décomposer chaque vecteur

x_{j} = i = 1 \sum n X_{i, j} e_{i}

Alors l'expression d'une forme n-linéaire alternée sur le n-uplet x₁,...,x_n se simplifie. Après suppression des termes où figurent deux fois le même vecteur, il vient

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = (i_{1}, \dots, i_{n}) \in J \sum j = 1 \prod n X_{i_{j}, j} f (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{n}})

où J est l'ensemble des n-uplets (i₁,...,i_n) avec chaque i_j dans [|1,n|] et les i_j tous distincts.

Mais alors (i₁,...,i_n) sont les entiers de 1 à n rangés dans un certain ordre. En d'autres termes, ils forment une permutation des entiers de 1 à n. On retrouve une et une seule fois chacune des permutations de n entiers dans la somme précédente. Ceci permet de réindexer

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = σ \in S n \sum \prod j = 1^{n} X_{σ (j), j} f (e_{σ (1)}, \dots, e_{σ (n)})

Enfin par antisymétrie

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = (σ \in S n \sum ε (σ) \prod j = 1^{n} X_{σ (j), j}) f (e_{1}, \dots, e_{n})

Ainsi la connaissance d'un seul scalaire, f(e₁,...,e_n) suffit pour déterminer complètement la fonction f.

Théorème — L'ensemble A_n(E) des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n constitue un espace vectoriel de dimension 1.

On appelle notamment application déterminant relativement à la base base e₁,...,e_n l'unique application n-linéaire alternée telle que f(e₁,...,e_n) = 1. Ses propriétés sont étudiées dans l'article déterminant (mathématiques).

Forme k-linéaire alternée en dimension n

Reprenant le cas d'une application k-linéaire alternée en dimension n, une partie seulement des résultats précédents peut être étendue. Il est toujours possible de supprimer les termes où figurent deux fois le même vecteur, il vient

f (x_{1}, \dots, x_{k}) = (i_{1}, \dots, i_{k}) \in J \sum j = 1 \prod k X_{i_{j}, j} f (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}})

où J est l'ensemble des k-uplets (i₁,...,i_k) avec chaque i_j dans [|1,n|] et les i_j tous distincts. De plus par antisymétrie, il est possible de réordonner les termes dans f de façon à ne conserver qu'une combinaison de termes de la forme

f (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}}) avec 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k - 1} < i_{k} \leq n

si k > n, il n'est pas possible de trouver de tels k-uplets, ce qui signifie qu'il n'existe pas d'autre forme k-linéaire alternée en dimension n que la forme nulle.
si $k \leq n$ , le nombre de tels k-uplets réordonnés est le coefficient binomial $(k n)$ . Par une démonstration analogue à celle du paragraphe précédent, une forme k-linéaire alternée est caractérisée par la donnée de la valeur de f sur ces k-uplets.

En définitive, l'espace des formes k-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension $(k n)$ .

Plus précisément la formule de décomposition peut être écrite en utilisant la notion de déterminant : chaque coefficient est un mineur de la matrice représentative des vecteurs x_i dans la base des e_j.

f (x_{1}, \dots, x_{k}) = 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k - 1} < i_{k} \leq n \sum X_{i_{1}; 1} X_{i_{1}; 2} \dots X_{i_{1}; k} X_{i_{2}; 1} X_{i_{2}; 2} \dots X_{i_{2}; k} ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ X_{i_{k}; 1} X_{i_{k}; 2} \dots X_{i_{k}; k} f (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}})