Bruit blanc

Un bruit blanc est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même pour toutes les fréquences.

On parle souvent de bruit blanc gaussien, il s'agit d'un bruit blanc qui suit une loi normale de moyenne et variance données.

En synthèse et traitement du son, on ne considère que les fréquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz puisque l'oreille humaine n'est sensible qu'à cette bande de fréquences (la sensibilité varie toutefois selon les personnes). L'impression obtenue est celle d'un souffle. Le son produit lors de l'effet de « neige » sur un téléviseur déréglé est un bon exemple de bruit blanc.

Le bruit blanc, à l'instar de la lumière blanche qui est un mélange de toutes les couleurs, est composé de toutes les fréquences, chaque fréquence ayant la même énergie. Le nombre de fréquences doublant d'une octave à l'autre, l'énergie croît linéairement de 3 dB par octave .

Par analogie avec la lumière blanche qui contient toutes les fréquences lumineuses avec la même intensité, un bruit blanc est un processus stochastique qui possède la même densité spectrale de puissance à toutes les fréquences. Ceci correspond à une autocorrélation nulle en tout point sauf à l'origine : le processus est décorrélé. S'il est gaussien, cette décorrélation entraîne l'indépendance.

La décorrélation conduit à une puissance moyenne ou variance infinie. Le processus correspondant ne peut donc exister mais c'est une approximation commode pour le calcul de la réponse d'un système peu amorti.

Plus concrètement, un bruit blanc filtré à la fréquence f_c correspond à un processus échantillonné à 1 / 2f_c, ce résultat étant utilisé dans les simulations.

En toute rigueur un bruit blanc ne peut exister car une densité spectrale identique pour toutes les fréquences conduirait à une variance, mesurée par l'aire sous la courbe, infinie (et donc une puissance infinie).

Cette solution est néanmoins intéressante dans certains problèmes pratiques car, bien qu'il ne puisse exister, on montre que la réponse à un bruit blanc d'un système amorti reste finie. Le remplacement d'une excitation quelconque par un bruit blanc fournit donc, en simplifiant considérablement les calculs, une approximation d'autant meilleure que l'amortissement du système est plus faible.

Un bruit blanc de densité spectrale (voir analyse spectrale) S échantillonné au pas T contient des fréquences inférieures à 1/2T (voir Théorème de Shannon). C'est un bruit blanc filtré qui possède une variance finie. Celle-ci s'écrit, si la densité spectrale est exprimée sur une échelle en fréquences positives, σ = S/2T.

Un bruit blanc peut être engendré par une séquence de nombres au hasard qui correspond à une densité de probabilité uniforme sur un intervalle de largeur unité. Pour obtenir des nombres sur un intervalle de largeur a, il suffit de multiplier le résultat par a.

Conséquence du théorème de la limite centrale, le bruit blanc gaussien est particulièrement utile. Pour le créer, on peut utiliser la formule de Rice

Φ est une séquence de variables uniformes sur un intervalle de largeur 2π.

A est une séquence de variables de Rayleigh dont la fonction de répartition s'écrit, σ étant la variance cherchée pour la variable de Gauss :

En égalant cette fonction de répartition à celle d'un nombre au hasard noté r, on obtient une réalisation de la variable de Rayleigh :

À partir de là, on construit une réalisation d'un bruit blanc gaussien. On peut alors obtenir une réalisation d'un processus gaussien quelconque en prenant sa transformée de Fourier, en la multipliant par la racine carrée de la densité spectrale et en inversant la transformée.

Dans l'étude des séries temporelles en statistique, il est souvent utile de définir un processus de bruit blanc également dans le domaine temporel (alors que les définitions plus haut sont dans le domaine des fréquences). Les définitions présentées ici sont faites pour des processus à temps discret et à valeurs continues. Selon Hamilton (1994, p 47) :

Définition — Un processus ε_t est qualifié de bruit blanc si :

• $E[{ϵ}_t]=0$
• $E[{ϵ}_t^2]={\sigma }^2$
• $E[{ϵ}_t{ϵ}_{\tau }]=0\forall t\ne \tau$

Un processus de bruit blanc est donc par définition stationnaire de second ordre. La troisième condition, E[ε_tε_τ] = 0, (ou $\text{Cov}[{ϵ}_t,{ϵ}_{\tau }]=0$), signifie que l'autocovariance est nulle.

Définition — Un processus ε_t est qualifié de bruit blanc indépendant si :

• $E[{ϵ}_t]=0$
• $E[{ϵ}_t^2]={\sigma }^2$
• ${ϵ}_t$ et ${ϵ}_{\tau }$ sont indépendants $\forall t\ne \tau$

On remarquera que la troisième condition de la définition du bruit blanc indépendant, celle d'indépendance, implique la condition d'autocovariance nulle du bruit blanc, tandis que la réciproque n'est pas forcément vraie. Cette deuxième définition est donc plus stricte que la première.

Définition — Un processus ε_t est qualifié de bruit blanc gaussien si

• ε_t est un bruit blanc indépendant
• ${ϵ}_t\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$