Classes de Thom-Boardman

Introduites par René Thom en 1956, et généralisées par J.M. Boardman en 1967, les classes de Thom-Boardman Σ sont un outil pour l'étude des singularités des applications différentiables $f:M\to N$. Elles permettent de distinguer les singularités selon la dimension des noyaux de (l'application tangente de) f et de certaines de ses restrictions. Elles ont une importante application dans le calcul des caustiques de l'optique géométrique.

Etant donnée une application (indéfiniment) différentiable $f:M^m\to N^n$, on définit en tout point $x\in M$ le rang r de f comme étant le rang de l'application tangente T**f_x. On définit aussi le corang à la source comme m − r, et le corang au but comme n − r. Le corang à la source est aussi la dimension i du noyau de T**f_x: i = m − r.

Un point $x\in M$ est dit régulier si son rang prend la valeur maximale possible: r = min(m,n). Il est dit singulier ou critique dans le cas contraire. L'ensemble des points singuliers est noté Σ(f). Les classes de Thom-Boardman décrivent la structure de Σ(f).

$x\in M$ est dit de classe Σ si le noyau de T**f_x est de dimension i. On note Σ(f) l'ensemble des points de classe Σ.

Le cas général est défini inductivement en posant, pour toute famille d'entiers $I=(i_1,i_2,\cdots ,i_n)$:

${\Sigma }^{i_1,...,i_{n-1},i_n}(f)={\Sigma }^{i_n}(f{|}_{{\Sigma }^{i_1,\cdots ,i_{n-1}}(f)})$.

On a les inclusions $M\supset {\Sigma }^{i_1}\supset {\Sigma }^{i_1,i_2}\supset {\Sigma }^{i_1,i_2,i_3}\supset \cdots$.

Points réguliers

Soit la fonction $f:R\to R$, f(x) = x. Sa dérivée n'est jamais nulle. La fonction f n'a que des points réguliers: Σ(f) = R.

Le pli

Soit la fonction $f:R\to R$, f(x) = x. Sa dérivée est 2x. On a donc ${\Sigma }^0(f)=R\backslash \{0\}$ et Σ(f) = {0}. L'unique point critique est appelé pli.

La fronce

Soit l'application $f:R^2\to R^2$, $f(x_1,x_2)=(y_1,y_2)=(x_1^3+x_1{x}_2,x_2)$. On calcule le déterminant jacobien $J(x_1,x_2)=\det \partial (y_1,y_2)/\partial (x_1,x_2)$. On trouve $J(x_1,x_2)=3x_1^2+x_2$. Alors Σ(f) est obtenu en écrivant J(x₁,x₂) = 0, soit $x_2=-3x_1^2$. C'est une parabole. Pour trouver Σ(f), nous devons écrire la restriction g de f à Σ(f). En utilisant, l'égalité $x_2=-3x_1^2$, on trouve $g:R\to R^2$, $g(x_1)=(-2x_1^3,-3x_1^2)$. La dérivée $g^{\prime }(x_1)=(-6x_1^2,-6x_1)$ ne s'annule qu'à l'origine. On a donc Σ(f) = (0,0). La singularité à l'origine s'appelle fronce.

La queue d'aronde

Soit l'application $f:R^3\to R^3$, $f(x_1,x_2,x_3)=(y_1,y_2,y_3)=(x_1^4+x_1^2{x}_2+x_1{x}_3,x_2,x_3)$. Le déterminant jacobien $J(x_1,x_2,x_3)=\det \partial (y_1,y_2,y_3)/\partial (x_1,x_2,x_3)$ s'écrit $J(x_1,x_2,x_3)=4x_1^3+2x_1{x}_2+x_3$. Alors Σ(f) est obtenu en écrivant J(x₁,x₂,x₃) = 0, soit $x_3=-4x_1^3-2x_1{x}_2$. C'est une surface régulière de R. Pour trouver Σ(f), nous devons écrire la restriction g de f à Σ(f). En utilisant l'égalité $x_3=-4x_1^3-2x_1{x}_2$, on trouve $g:R^2\to R^3$, $g(x_1,x_2)=(-3x_1^4-x_1^2{x}_2,x_2,-4x_1^3-2x_1{x}_2)$. On calcule la matrice dérivée $g^{\prime }(x_1,x_2)=\partial (y_1,y_2,y_3)/\partial (x_1,x_2)$. La condition caractérisant Σ(f) est obtenue en annulant les 3 mineurs d'ordre 2, ce qui mène à $x_2=-6x_1^2$. Σ(f) est donc une courbe régulière de R, d'équation: $x_2=-6x_1^2$, $x_3=8x_1^3$. Cette équation nous permet d'écrire la restriction h de f à Σ(f): $h(x_1)=(3x_1^4,-6x_1^2,8x_1^3)$. Alors Σ(f) est obtenu en écrivant que h'(x₁) est nul, soit x₁ = 0. La singularité à l'origine s'appelle queue d'aronde.

Les ombilics

Soit l'application $f:R^4\to R^4$, $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(y_1,y_2,y_3,y_4)=(x_1,x_2,x_3^2\pm x_4^2+x_1{x}_3+x_2{x}_4,x_3{x}_4)$. On calcule comme précédemment Σ(f) et Σ(f). Pour trouver Σ(f) on calcule la matrice jacobienne $\partial (y_1,y_2,y_3,y_4)/\partial (x_1,x_2,x_3,x_4)$. On remarque que les deux premiers vecteurs-colonnes $\partial y_i/\partial x_1$ et $\partial y_i/\partial x_2$ forment un plan vectoriel. On écrit donc que les deux autres vecteurs-colonnes sont contenus dans ce plan, ce qui fournit 8 annulations de déterminants de mineurs d'ordre 3. On trouve finalement Σ(f) = (0,0,0,0). La singularité à l'origine s'appelle ombilic: ombilic hyperbolique pour le signe + et ombilic elliptique pour le signe − . Les ombilics hyperbolique et elliptique appartiennent à la même classe de Thom-Boardman Σ(f).

L'ombrelle de Whitney-Cayley

Soit l'application $f:R^2\to R^3$, $f(x_1,x_2)=(y_1,y_2,y_3)=(x_1,x_1{x}_2,x_2^2)$. On calcule la matrice jacobienne:

$\frac{\partial (y_1,y_2,y_3)}{\partial (x_1,x_2)}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0x_2& x_{1}0& 2x_2\end{array}\right)$.

Σ(f) est obtenu en annulant les 3 mineurs d'ordre 2 soit: x₁ = 0, 2x₂ = 0, $2x_2^2=0$. Par conséquent Σ(f) = (0,0). La singularité à l'origine s'appelle ombrelle de Whitney-Cayley.

Les caustiques de l'optique géométrique sont modélisées mathématiquement en tant que singularités, ou plus exactement en tant que singularités lagrangiennes. La théorie des singularités lagrangiennes montre qu'il existe 5 types génériques de points caustiques dans notre espace physique: les plis A₂, les fronces A₃, les queues d'aronde A₄, les ombilics hyperboliques $D_4^{+}$ et les ombilics elliptiques $D_4^{-}$.

Le lien avec les singularités d'applications différentiables vient de la remarque suivante. Considérons un ensemble (ou congruence) de rayons lumineux. Chaque rayon est défini par deux paramètres x₁, x₂, qui sont par exemple les coordonnées du point Q du front d'onde W d'où est issu le rayon. Pour décrire tous les points P du système des rayons, on ajoute aux coordonnées x₁ et x₂ une troisième coordonnée x₃ le long du rayon, par exemple la distance Q**P mesurée le long du rayon (x₁,x₂). On définit ainsi une application f qui fait correspondre au triplet (x₁,x₂,x₃) le point (y₁,y₂,y₃) de l'espace physique, situé à la coordonnée (distance) x₃ le long du rayon (x₁,x₂). Dire que les rayons "se croisent", c'est dire que f n'est pas injective. La non surjectivité de f exprime l'existence de zones d'ombres. La caustique K du système de rayons est l'ensemble singulier Σ de f, ou plus exactement son image dans l'espace physique: K = f(Σ).

Cette modélisation des rayons par une application différentiable f explique que la caustique se compose d'une surface-pli A₂ = Σ(f), de lignes-fronces A₃ = Σ(f), et de points queues d'arondes A₄ = Σ(f). Elle n'explique cependant pas la présence des ombilics $\{D_4^{+},D_4^{-}\}={\Sigma }^2(f)$ qui, dans la théorie générale, sont de codimension 4.

La caractérisation des points caustiques par les classes de Thom-Boardman permet leur calcul effectif dans la plupart des applications.

On doit à Boardman une extension intéressante des classes Σ(f). Ces classes, notées Σ, où $I=(i_1,\cdots ,i_k)$ sont définies indépendamment de toute fonction f. Ce sont des sous-ensembles de l'espace des jets J(M,N) que nous n'expliciterons pas ici. Le rapport entre les deux définitions des classes s'exprime par Σ(f) = j(f) (Σ), où j(f) désigne l'extension à k-jet de f. La relation exige pour être vraie certaines conditions de transversalité.

Codimension de Σ

La codimension ν_I(m,n) de Σ, où $I=(i_1,\cdots ,i_k)$, est donnée par la formule de Boardman:

${\nu }_I(m,n)=(n-m+i_1)\mu (i_1,i_2,\cdots ,i_k)-(i_1-i_2)\mu (i_2,i_3,\cdots ,i_k)-\cdots -(i_{k-1}-i_k)\mu (i_k)$.

où $\mu (i_1,i_2,\cdots ,i_k)$ est le nombre de suites $j_1,j_2,\cdots ,j_k$ d'entiers vérifiant les conditions: a) $j_1\ge j_2\cdots \ge j_k$; b) $i_r\ge j_r\ge 0$ pour tout r tel que $1\le r\le k$, avec j₁ > 0.

Tableau des classes pour les petites dimensions

On donne ici les classes non vides pour les petites valeurs de m = dimM et n = dimN. Pour chaque classe, on écrit entre crochets sa codimension et sa dimension: Σ[ν,m − ν]. On note Reg l'ensemble des points réguliers: Reg=$M\setminus \Sigma$.