Compter sur ses doigts

Les doigts sont couramment utilisés, notamment par les enfants, pour apprendre à compter. Selon les pays et les coutumes, on compte différemment sur ses doigts : en occident, on compte généralement jusqu'à 10 en utilisant les deux mains. En Chine et au Japon, on peut compter jusqu'à 9 sur chaque main. En développant l'idée de façon mathématique, on peut encore pousser plus loin ce "boulier" naturel.

En plus de la numération, les doigts sont souvent utilisés pour effectuer des opérations simples : addition, soustraction, voire multiplication.

C'est un compte basé sur la quantité de doigts levés (ou fermés).

En France et en Amérique du Nord, un poing fermé représente 0 (zéro) et une main ouverte représente 5 (cinq).

• Un doigt levé, quel qu'il soit, représente 1 ;
• Le nombre représenté correspond au nombre de doigts levés ;

En utilisant les deux mains, qui totalisent 10 doigts (sauf polydactylie), on peut compter jusqu'à 10 en utilisant cette méthode. Elle conduit à utiliser un système décimal (c’est-à-dire de base 10).

L'ordre dans lequel les doigts sont considérés dépend des pays. En France par exemple, l'énumération sur les doigts se fait dans l'ordre en commençant par le pouce :

• 0 : poing fermé,
• 1 : pouce ouvert,
• 2 : pouce et index ouverts,
• 3 : pouce, index et majeur ouverts,
• 4 : index, majeur, annulaire et auriculaire ouverts, car pour la plupart des personnes, il difficile de tendre l'annulaire sans l'auriculaire.
• 5 : pleine main (tous les doigts sont ouverts).

Dans certains pays d'Europe, notamment dans les Balkans, le pouce est le dernier doigt qu'on ouvre (1: index levé)

Dans d'autres pays d'Europe, et souvent en France aussi, le comptage se fait en repliant les doigts dans l'ordre : pouce, index, majeur, annulaire et auriculaire.

C'est une méthode basée sur la quantité et sur la symbolique des doigts. En utilisant cette méthode, on peut compter, en utilisant les deux mains, jusqu'à 18.

• 0 : une main fermée,
• 1 : un auriculaire levé,
• 2 : l'annulaire et l'auriculaire levés,
• 3 : le majeur, l'annulaire et l'auriculaire levés,
• 4 : l'index, le majeur, l'annulaire et l'auriculaire levés,
• 5 : la main ouverte,
• 6 : le pouce et l'auriculaire levés,
• 7 : le pouce touchant l'index et le majeur,
• 8 : l'index et le pouce levés,
• 9 : l'index levé a moitié replié (crochet)
• les index des deux mains se croisant représentent 10 (On peut aussi croiser l'index et le majeur).

Un autre mode d'énumération consiste à compter les phalanges avec le pouce de la main. Ce type d'énumération conduit à utiliser un système duodécimal (c’est-à-dire de base 12). Le plus grand nombre représenté est 156 (soit treize douzaines).

L'énumération se fait de la façon suivante :

• 1 : le pouce pointe sur la première phalange de l'index,
• 2 : le pouce pointe sur la deuxième phalange de l'index,
• 3 : le pouce pointe sur la troisième phalange de l'index,
• 4 : le pouce pointe sur la première phalange du majeur,
• ...
• 5 : le pouce pointe sur la deuxième phalange du majeur,
• ...
• 12 : le pouce pointe sur la troisième phalange de l'auriculaire.
• 13 : la première main indique un; la seconde main indique une douzaine (13=1+1×12)
• 156 : la première main indique douze; la seconde main indique douze douzaines (156=12+12×12)

Ces méthodes, démontrées mathématiquement, permettent presque d'atteindre facilement 4 avec deux mains. Cependant, elles sont inutilisables telles quelles, les calculs (changements de bases) étant souvent bien compliqués...

Un système binaire

Les doigts peuvent, basiquement, adopter deux positions : levé ou fermé, ce qui fait deux états. Soit 0 l'état "fermé" et 1 l'état "levé" : on se retrouve dans le cas d'un nombre binaire. Avec 10 doigts, en adoptant le code binaire, on pourrait donc compter jusqu'à :

2 − 1 = 1023

L'inconvénient étant le sens de lecture, on peut tenir une main dans un sens (vers l'interlocuteur) pour les valeurs les plus basses (less significant bits) et dans un autre sens (vers soi) pour les valeurs les plus élevées (most significant bits).

Dans ce cas, si la main gauche est vers soi et que la main droite est dans l'autre sens, le pouce gauche levé représente 512, pouce droit levé représente 1. Les deux mains ouvertes représentent 1023.

Voir Système binaire

Un système plus poussé

Il est possible d'aller encore plus loin dans la numération. D'une part, on peut utiliser les phalanges, qui permettent aux doigts de se plier, pour obtenir 4 états : levé, plié, fermé, fermé et tendu - à causes des limitations anatomiques de l'annulaire, les doigts "pliés" doivent toucher la base du doigt, les doigts "fermés" doivent toucher la paume de la main (comme lorsqu'on serre le poing). Ici, la numération se ferait en base 4, et on pourrait compter jusqu'à :

4 − 1 = 1048575

Plus encore, on pourrait utiliser la position des mains et éventuellement les croisements de doigts, voire des méthodes encore plus développées : une multiplication pour approcher le nombre, suivie d'une addition ou d'une soustraction pour ajuster et avoir le résultat exact - il suffit pour symboliser les opérations d'indiquer avec l'index des deux mains un + ou un × ou un -.

Bien évidemment, ces méthodes demandent de la part de leurs pratiquants de grandes capacités de calcul mental - et sont donc presque inutilisables. Cependant, si on dispose d'une grille répertoriant les positions des doigts et les chiffres représentés, alors il devient aisé de développer ce genre de techniques, au moins pour la méthode simple (binaire).

La retenue

Une numération avec la main permet de mémoriser la retenue d'une opération. Dans ce cas, Il est fréquent d'indiquer la valeur numérique en appuyant un doigt sur une partie du corps (menton, front, crâne) ou sur la table de travail.

La multiplication par 9

Méthode 1

Pour multiplier rapidement par 9 avec ses mains, il faut ouvrir ses 10 doigts, puis baisser le doigt correspondant au nombre multiplié, les doigts restants à gauche du doigt plié correspondent aux dizaines, ceux à droite aux unités.

Par exemple 9 x 6 :

on plie le pouce droit, il reste les 5 doigts de la main gauche : 50 ( 5*10); et les 4 doigts de la main droite : 4 (4*1). Ainsi $9\times 6=50+4=54$

Méthode 2

On peut également procéder ainsi :

9 x 6
(6-1)=5
(10-6)=4

Ce qui permet de trouver 54 ; en effet, on voit que :

$9\times 1=$ 09
$9\times 2=$ 18
$9\times 3=$ 27
$9\times 4=$ 36
$9\times 5=$ 45
$9\times 6=$ 54
$9\times 7=$ 63
$9\times 8=$ 72
$9\times 9=$ 81
$9\times 10=$ 90

On constate que les chiffres des dizaines se suivent dans l’ordre croissant et ceux des unités dans l’ordre décroissant…