Dynamique des cycles

La dynamique des cycles est la science du mouvement des bicyclettes et motos et des éléments qui les composent, causé par les forces qu'ils subissent. La dynamique est une branche de la mécanique classique, elle-même part de la physique. Les bicyclettes et les motos sont toutes deux des véhicules à trajectoire unique, ce qui rend les caractéristiques de leur mouvement fondamentalement similaires.

Les mouvements du vélo qui présentent un intérêt sont le balancement, la direction, le freinage, l'utilisation de la suspension, et la vibration. Des expériences et l'analyse ont montré qu'un vélo tenait debout lorsqu'il était dirigé de façon à maintenir son centre de gravité au-dessus des roues. Cette direction est généralement le fait d'un cycliste, ou dans certaines circonstances du vélo lui-même. L'idée longtemps en vigueur selon laquelle l'effet gyroscopique est la principale force de stabilisation du vélo a été réfutée .

Même si se maintenir droit peut être l'objectif premier du débutant, un vélo doit s'incliner pour maintenir son équilibre dans un virage : plus la vitesse est importante, ou plus l'angle de virage est faible, plus elle doit s'incliner. Cela permet de compenser la force centrifuge du virage par la force de gravité due à l'inclinaison. Au cours d'un freinage, selon l'emplacement du centre de gravité conjoint du vélo et du cycliste par rapport au point de contact entre la roue avant et le sol, la roue avant peut déraper, ou le vélo et le cycliste passer par-dessus la roue avant.

L'histoire de l'étude de la dynamique des cycles est presque aussi ancienne que la bicyclette elle-même. Elle se nourrit de contributions de scentifiques célèbres comme William Rankine, Paul Émile Appell ou Francis Whipple. Au début du XIX, Karl von Drais lui-même, reconnu comme l'inventeur du deux-roues appelé vélocipède ou draisienne, montre qu'un cycliste peut équilibrer son engin en guidant la roue avant. Avant la fin du XIX, Emmanuel Carvallo et Francis Whipple montrent à l'aide de la dynamique des corps rigides que certaines bicyclettes sûres étaient capables de s'équilibrer elles-mêmes si elles se déplaçaient à une allure adéquate. La paternité de l'idée de différencier l'axe de direction de l'axe vertical, qui permit cette évolution, est incertaine. En 1970, David Jones publie un article dans Physics Today qui montre que les effets gyroscopiques ne sont pas nécessaires pour équilibrer une bicyclette. En 1985, Robin Sharp publie un ouvrage sur le comportement mathématiques des cycles et a continué à travailler sur ce sujet jusqu'aujourd'hui en compagnie de David Limebeer, son collègue de l'Imperial College de Londres. En 2007, Meijaard, Papadopoulos, Ruina, et Schwab publient les équations du mouvement cannoniquement linéarisées, dans les Proceedings of the Royal Society A, ainsi que leur démonstration selon deux méthodes distinctes.

Si on considère le vélo et le cycliste comme un système unique, les forces qui agissent sur ce système pouvent être classées en deux catégories : les forces internes et externes. Les forces externes sont dues à la gravité, à l'inertie, au contact avec le sol et au contact avec l'atmosphère. Les forces internes sont causées par le cycliste et son interaction avec les éléments du vélo.

Forces externes

Comme toutes les masses, le cycliste et tous les éléments du vélo sont attirés vers le sol par la gravité. Il existe aussi une attraction gravitationnelle entre les éléments eux-mêmes, mais celle-ci est négligeable au regard des autres forces en cause, et peut être ignorée.

Au point de contact de chaque pneu avec le sol se manifestent des forces de réaction du sol, qui ont une composante horizontale et une composante verticale. La composante verticale contrebalance essentiellement la force gravitationnelle, mais varie aussi avec le freinage et l'accélération. Pour plus de détails, voir la partie sur la stabilité longitudinale ci-dessous. La composante verticale est due au frottement entre les roues et le sol et inclut la résistance à la rotation. Elle est une réaction aux forces de propulsion, de freinage et de virage.

Les forces de virage sont provoquées par les manœuvres visant à assurer l'équilibre du vélo en plus du simple changement de direction. Elles peuvent être interprétées comme des forces centrifuges dans le référentiel en accélération du vélo et du cycliste, ou simplement comme une inertie dans un référentiel galiléen stationnaire, et non comme des forces.

Les forces gyroscopiques qui agissent sur les parties rotatives comme les roues, le moteur ou la transmission sont également dues à l'inertie de ces éléments. Ce sujet est plus amplement développé dans la partie sur les effets gyroscopiques ci-dessous.

Les forces aérodynamiques dues à l'atmosphère sont essentiellement des forces de traînée, mais peuvent aussi prendre la forme de vents de côté. Pour une bicyclette à vitesse normale au niveau du sol, la traînée aérodynamique est la plus importante force résistant au mouvement du vélo vers l'avant.

Forces internes

Les forces internes au système sont causées principalement par le cycliste et les frottements. Le cycliste peut imprimer des couples entre le mécanisme de direction (fourche avant, guidon, roue avant) et le cadre arrière, et entre le cycliste et le cadre arrière. Des frottements entre toutes les parties du vélo qui se déplacent l'une contre l'autre : dans le développement, entre le mécanisme de direction et le cadre arrière, etc... De nombreux vélos ont des suspensions avant et arrière, et certaines motos ont un amortisseur de direction, afin de dissiper toute forme d'énergie cinétique indésirable.

Un vélo se maintient droit lorsqu'il est dirigé de façon à ce que les forces de réaction du sol compensent exactement toutes les autres forces qu'il subit : gravité, inertie, force centrifuge en cas de virage et force aérodynamique en cas de souffle de côté. La direction peut être le fait d'un cycliste ou, dans certaines circonstances, du vélo lui-même. Cet auto-équilibre est alors provoqué par la combinaison de plusieurs effets qui dépendent de la géométrie, de la répartition du poids, et de la vitesse d'avancement de la bicyclette. Les pneus, la suspension, l'amortissement de la direction et la flexibilité du cadre peut aussi influencer ce phénomène, en particulier dans le cas des motos.

Si la direction d'un vélo est bloquée, il devient à peu près impossible d'en préserver l'équilibre pendant la conduite. Cependant, si l'effet gyroscopique de la rotation des roues du vélo est compensé par l'ajout de roues contre-rotatives, il reste aisé d'assurer l'équilibre du véhicule.

Vitesse de la bicyclette

Le cycliste transmet du couple au guidon afin de tourner la roue avant, ce qui permet de contrôler l'inclinaison et de préserver l'équilibre. À une vitesse élevée, même un angle de direction faible provoque un déplacement latéral rapide des points de contact au sol ; à une vitesse plus faible, il faut utiliser des angles de direction plus grands pour obtenir le même effet aussi rapidement. De ce fait, il est généralement plus aisé de maintenir l'équilibre à vitesse élevée.

Localisation du centre de gravité

Plus le centre de gravité combiné du vélo et du cycliste se trouve à l'avant (proche de la roue avant), moins la roue avant doit bouger latéralement pour conserver l'équilibre. Inversement, plus le centre de gravité se trouve à l'arrière (proche de la roue arrière), plus le mouvement latéral de la roue avant doit être important pour préserver l'équilibre de la bicyclette. Ce phénomène peut être observé particulièrement sur les vélos couchés et les choppers, dont les roues sont particulièrement écartées. Il peut aussi s'avérer important sur les routières qui transportent un chargement important au-dessus, ou même derrière la roue arrière.

Les vélos sont également des exemples de pendules inversés. De la même manière qu'un balai (avec la brosse en haut) est plus facile à équilibrer qu'un crayon, un vélo haut, caractérisé par un centre de gravité plus élevé, sera peut-être plus facile à équilibrer qu'un vélo plus petit parce qu'il s'inclinera plus lentement.

À l'arrêt, un cycliste peut avoir l'impression inverse : une bicyclette plus lourde demande plus d'effort pour être maintenue droite, lorsqu'elle est arrêtée par la circulation par exemple, qu'une autre bicyclette aussi grande, mais avec un centre de gravité plus bas. C'est un exemple de levier vertical de seconde classe. Une force faible imprimée à l'extrémité du levier (le siège ou le guidon pour un vélo) déplace plus facilement une masse importante si celle-ci est plus proche du point d'appui, au contact entre les pneus et le sol. C'est pourquoi il est conseillé aux cyclotouristes de transporter leur chargement bas sur leur vélo, notamment en laissant pendre leurs sacs de part et d'autre de leur porte-bagages.

Chasse

La chasse est un autre facteur qui influence la maniabilité du vélo. Il s'agit de la distance entre le point de contact de la roue avant avec le sol et l'intersection du sol et de l'axe de direction, qui est l'axe autour duquel l'ensemble du mécanisme de direction pivote (fourche, guidon, roue avant). Sur une bicyclette traditionnelle, où l'axe de direction est en retrait de la verticale, la chasse fait tourner la roue avant dans la direction dans laquelle le vélo penche, indépendamment de sa vitesse. Ce phénomène est aisément observable en poussant un vélo à l'arrêt d'un côté donné. La roue avant devrait tourner également dans cette direction, du fait de la gravité.

Plus un vélo a de chasse, plus il est stable. Les vélos à chasse négative (où le point de contact est en avant de l'intersection de l'axe de direction avec le sol) peuvent être conduits, mais sont extrêmement instables. Inversement, les vélos qui accusent une chasse trop importante virent plus difficilement. En général, les vélos de course ont plus de chasse que les vélos de tourisme ou les VTT. Dans le cas des VTT, une chasse moins importante permet d'accroître la précision de la trajectoire, et de préserver l'équilibre du cycliste lorsque sa roue avant heurte des obstacles. Les vélos de tourisme sont construits avec une chasse faible afin de permettre au cycliste de contrôler son vélo lorsqu'il est particulièrement chargé et possède un centre de gravité plus bas. En conséquence, un vélo de tourisme non chargé peut paraître instable lorsqu'il n'est pas chargé. Sur les vélos, le cintre de la fourche, qui prend la forme d'une courbe à l'avant de l'axe de direction en bas de la fourche, est utilisée pour diminuer la chasse.  In motorcycles, rake refers to the head angle instead, and offset created by the triple tree is used to diminish trail  ⇔  Sur les motos, on appelle cintre l'angle avant, et ....

La chasse est une fonction de l'angle avant, du cintre et de la taille de la roue. Cette relation s'exprime par la relation suivante :

où R est le rayon de la roue, A l'angle avant mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre, et C le cintre. La chasse peut être accrue en accroissant la taille de la roue, en réduisant l'angle avant, ou en réduisant le cintre de la fourche.

Une étude empirique de Whitt et Wilson a révélé que :

• les vélos de tourisme ont un angle avant compris entre 72° et 73° et une chasse de 43,0 à 60,0 mm
• les vélos de course ont un angle avant compris entre 73° et 74° et une chasse de 28,0 à 45,0 mm
• les vélos de piste ont un angle avant de 75° et une chasse de 23,5 à 37,0 mm

Répartition du poids du mécanisme de direction

Un autre facteur susceptible de contribuer à l'équilibre d'un vélo traditionnel est la répartition de la masse dans le mécanisme de direction, qui est composé de la roue avant, de la fourche et du guidon. Si le centre de gravité du mécanisme de direction se trouve à l'avant de l'axe de direction, la force de gravité fait tourner la roue dans la direction dans laquelle le vélo penche. Ce phénomène peut être observé en penchant un vélo à l'arrêt. La roue avant tourne généralement aussi dans cette direction indépendamment de toute interaction avec le sol D'autres paramètres, comme la  fore-to-aft position  ⇔  du centre de gravité ou sa hauteur contribuent aussi au comportement dynamique du vélo.

Effets gyroscopiques

Dans la plupart des vélos, le rôle de l'effet gyroscopique est d'aider à tourner la roue avant dans la direction d'inclinaison. Ce phénomène s'appelle laprécession ,son ampleur est inversement proportionnel à la vitesse de rotation de l'objet. Au moins la roue avant tourne vite, au plus la précession est importante est vice-versa.vice-versa. A l'inverse de la roue avant, la roue arrière n'est pas soumise a ce phénomène a cause des frottements des pneu sur le sol, elle bascule donc de la même manière que si elle était a l'arrêt. Ainsi, les effets gyroscopiques n'empêche pas le basculement.

A faible vitesse, la précession de la roue avant est très forte, ce qui a pour effet de rendre la bicyclette incontrôlable avec une tendance à tourner trop fort (un genre de sur-virage), à se pencher de l'autre côté ce qui peut entrainer des oscillations et donc une chute. A haute vitesse, à l'inverse la précession est faible, cela rend la bicyclette difficilement manœuvrable: elle a tendance a "refuser" le virage. . Le temps caractéristique de cette instabilité est long ,de l'ordre de quelque seconde, ce qui la rend facile à contrer. AInsi, une bicyclette qui va vite peut sembler stable même s'il elle ne l'est pas en réalité et devient instable si elle n'est pas contrôlée.

Une autre contribution des effets gyroscopique est la création d'un moment (de roulis) par la roue avant lors d'un contre braquage. Cela permet au pilote de lancer un virage rapidement. Par exemple pour un virage a gauche, le pilote commence d'abord par virer à droite, ceci a pour effet de faire pencher la machine a gauche ce qui aide le pilote a engagé son virage.

Self-stability

Entre les deux modes d'instabilité mentionnés plus haut et influencé par tous les paramètres pré-cités( empatement,répartition des masse, effets gyroscopiques,...), il peut y avoir une plage de vitesse où ces effets équilibrent un vélo . Cependant, même sans auto-stabilité, une bicyclette peut être conduit en le maintenant dans l'axe de ses roues. Il est a noter que les effets mentionnés ci-dessus qui combinés peuvent assurer l'auto-stabilité peuvent être surpassés par des facteurs additionnels comme les frottements dans le jeu de direction ou la raideur des câbles de commandes.. Cette vidéo montre une bicyclette auto-stable sans pilote.

Les cycles, étant des mécanismes complexes ont de nombreux modes d'instabilité (autrement dit de nombreuses manières d'être instable). Dans ce contexte, "stable" signifie que le cycle continue de rouler sans tomber tant que la vitesse est maintenue. A l'inverse, "instable" signifie que le cycle chute même si la vitesse d'avance est maintenue. Les modes d'instabilité sont différencié par la vitesse où ils se produisent et   leur phase relative de basculement et changement de direction  ⇔  traduction douteuse.

Modes

Il y a trois principaux modes d'instabilité pour un cycle: il peut se renverse, vaciller et enfin osciller. A lesser known mode is rear wobble, and it is usually stable.

Renversement

On dit qu'un cycle se renverse quand il chute sans osciller, c'est la simple chute sur le côté. Durant un renversement, la roue avant est généralement orientée dans le sens de la chute mais pas suffisamment pour compenser la prise d'angle, qui augmente jusqu'à une certaine valeur au delà de laquelle, la roue peut se dirigé vers le côté opposé. Le renversement peut se produire très doucement a vitesse élevée. Du fait de cette lenteur -la durée du phénomène est de l'ordre de la seconde- il est en fait facile pour le pilote de contrôler ce déséquilibre qui est d'ailleurs utilisé pour initier la prise d'angle nécessaire à un virage..

   ⇔  le passage suivant semble faux dans son contenuFor most bikes, depending on geometry and mass distribution, capsize is stable at low speeds, and becomes less stable as speed increases until it is no longer stable. However, on many bikes, tire interaction with the pavement is sufficient to prevent capsize from becoming unstable at high speeds.

Vacillement

Le vacillement d'un cycle désigne un lente (0–4 Hz) oscillation entre la roue arrière qui se penche et la roue avant qui change de direction. Le cycle tout entier est affecté avec des modifications perceptibles dans sa direction ,son angle d'inclinaison( roulis) et son angle de direction (tangage). La direction est en opposition de phase(180° de décalage) avec la trajectoire et en quadrature(90°) avec l'inclinaison. Ce AVI clip vidéo illustre ce phénomène.

Dans la plupart des cas, suivant la géométrie et la répartition des masse, le vacillement est instable a faible vitesse et s'atténue avec une vitesse plus élevée. Alors que l'amplitude peut diminuer avec la vitesse, la fréquence augmente.

Guidonnage

Le guidonnage décrit un oscillation rapide (4–10 Hz) du train avant (roue avant,fourche et guidon). Le reste du cycle n'est que très peu affecté. Cette instabilité se produit principalement à haute vitesse et est similaire au phénomène qui se produit sur les chariots de supermarché, les trains atterrissage des avions ou les roues avant des voitures.. Même si le guidonnage peut facilement être supprimer en ajustant sa vitesse, sa position, ou son grip sur la guidon, il se révèle fatale (chute assurée) si il n'est pas contrôlé.. Ce clip vidéo illustre le guidonnage.

Le guidonnage peut se produire à cause d'autre raison, comme une asymétrie de la fourche , qui accélère la fourche d'un côté. La réaction s'applique en phase avec l'évolution de l'irrégularité et la roue se tourne du côté opposé a celui de la source. S'il n'y a pas d'amortissement suffisant dans la direction, les oscillations augmente jusqu'à la rupture. La fréquence des oscillations peut être modifié en changeant sa vitesse, le poids du cycle ou en augmentant la dureté de la direction ,dont le pilote est un élément principal.

Une étude a montré que les ondulations de la route peuvent exciter les oscillations dans les virages si leur fréquence est en adéquation avec la vitesse du véhicule et d'autres paramètres, ce phénomène peut être évité avec un amortisseur de direction performant.

Guidonnage arrière

Le terme de guidonnage arrière est utilisé pour décrire les oscillations durant lesquels l'angle de roulis et de tanguage sont presque en phase et tous les deux en opposition de phase avec l'angle de direction. La fréquence de ces oscillations est modéré avec un maximum d'environ 6,5 Hz. Le guidonnage arrière est un phénomène très amorti et disparait rapidement quand la vitesse augmente.

Critères de conception

On peut caractériser les effets de la géométrie du cycle sur l'instabilité en examinant les valeurs propres des équations du mouvement dans leur versions linéarisée. Pour plus de détails sur les équation de mouvement et les valeurs propres, se reporter à la section théorique. Des conclusions générales sont décrites ici.

La rigidité en torsion et en flexion du train arrière et de l'axe de la roue modifient l'amortissement du guidonnage de manière substantielle. Un grand empattement, une chasse importante et un angle de chasse faible augmente l'amortissement du guidonnage. La distorsion latérale peut être contrer en plaçant l'axe de rotation de la [[Fourche(vélo]|fourche]] le plus bas.

La tendance au vacillement en courbe est amplifiée par un mauvais amortissement dans la suspension arrière. Les caractéristique mécaniques du pneu arrière et sa réponse aux efforts  Cornering, camber stiffnesses and relaxation length  ⇔  .pas de traduction exacte trouvée contribue fortement à l'amortissement du vacillement. La caractéristiques du pneu avant influent en revanche moins. Une concentration de masse à l'arrière favorise la tendance au vacillement. En revanche, une répartition arrière des masses associée à une rigidité et un amortissement adaptée sont efficace dans la surpression du guidonnage et du vacillement.

Enfin, la pression des pneumatiques est un paramètre important pour la stabilité des cycles à haute vitesse.

Pour faire tourner un cycle, le faire changer de direction, il faut faire tourner la roue avant dans la direction souhaitée, de même que n'importe quel autre véhicule à direction avant. Les frottements entre les roues et le sol générent une accélération centripète nécessaire pour dévier le cycle de la ligne droite. Le rayon de courbe d'un vélo droite (sans prise d'angle) peut être approché pour de faibles angles de direction par:

où r est le rayon approché, e est l'empattement, δ est l'angle de direction, and φ est l'angle de chasse.

Inclinaison

Cependant, à la différence des autres véhicule à roue, les cycles doivent se pencher pendant un virage pour compenser les forces qui s'y applique: la gravité, les effets d'inertie, les frottements et la réaction du sol. L'angle d'inclinaison θ peut facilement se calculer en utilisant les équations du mouvement circulaire , où v est la vitess de déplacement, r rayon de courbe and g est la valeur du champ de pesanteur.

Par exemple, un cycle à l'équilibre qui opère un virage de rayon 10 m à la vitesse de 10 m/s doit avoir un angle de chasse de 45°. Le pilote peut se pencher par rapport au cycle de façon à garder soit son torse soit le vélo plus ou moins à la verticale. L'angle qui est important est celui entre l'horizontal et le plan définir par les points de contact des pneu avant et arrière avec la route (supposés uniques) et le centre de gravité du pilote.

Cette inclinaison diminue le rayon de courbe réel proportionnellement au cosinus de l'angle. L'angle d'inclinaison équivalent peut être approché (à 2% de la valeur exacte) par:

where r est le rayon approché, e est l'empattement, θ est l'angle d'inclinaison, δ est l'angle de direction, and φ est l'angle de chasse.

Lorsque le cycle se penche, les zones de contacts des pneu avec le sol se déplacent vers l'extérieur du virage ce qui entraine une usure. Dans le monde de la moto, les portions du pneu qui demeurent intactes sont parfois appelées les "chickens stripes".

Contre braquage

Afin de déclencher une courbe et la prise d'angle nécessaire, un cycle doit momentannément être dirigé dans la direction opposée. Cette techniques est souvent appelée contre braquage. Ce mouvement rapide déplace les roues de la verticale du centre de gravité et provoque ainsi la prise d'angle. Quand il n'y a pas d'actions extérieurs comme un vent latéral dans le bon timing qui crée provoque l'inclinaison, le contre braquage est utilisé à chaque chaque virage.

Quand l'inclinaison approche de l'angle voulu, la roue avant doit être dirigée vers l'intérieur de la courbe et en fonction de la vitesse, du rayon de courbe et du besoin de maintenir l'angle. Une fois la courbe engagé, le rayon ne peut être changé que par un changement approprié de l'angle d'inclinaison. Cela ne peut être fait qu'en contre braquant momentanément encore plus de manière à augmenter l'inclinaison et donc le rayon de courbe. Pour sortir de la courbe, il faut également contre braquer mais cette fois-ci de manière à augmenter le rayon de courbe et donc les effets inertiels et ainsi diminuer l'inclinaison .

Équilibre en courbe

Une fois la courbe engagée, le couple qui doit être appliqué au mécanisme de direction pour maintenir un rayon de courbe constant dépend de la vitesse de déplacement, de la géométrie et de la répartition des masses du cycle. Avec une vitesse inférieur à la vitesse limite de renversement, définie ci-dessous dans la section "Valeurs propres, aussi appelée vitesse "d'inversion", le caractère auto-stable du cycle le fait tourner vers l'intérieur de la courbe, ce qui l'équilibre et le fait sortir de la courbe, à moins qu'un couple ne soit appliqué dans le direction opposée au virage. Avec une vitesse supérieur a la vitesse de renversement, l'instabilité à tendance à faire tourner la direction vers l'extérieur du virage, ce qui augmente l'inclinaison, à moins qu'un couple ne soit appliqué vers l'intérieur du virage. A la vitesse de renversement, aucun couple extérieur appliqué à la direction n'est nécessaire pour maintenir l'équilibre en courbe.

Sans les mains

Alors que le contre braquage et généralement initié en appliquant un couple directement au guidon, sur les véhicules légers, comme les bicyclettes, cela peut se faire en déplaçant le poids du pilote. Si le pilote se penche vers la droite, le vélo se penchera dans l'autre sens, afin de respecter la conservation du moment angulaire,et que le centre de gravité équivalent du système (pilote+cycle) reste dans le même plan vertical. Ce mouvement du cycle vers la gauche provoque un braquage vers la gauche et déclenche un virage vers la droite de la même manière que si le pilote avait effectué un contre braquage vers la gauche en tourner son guidon. . Il est à noter que cette technique peut être compliquée par les frottements internes à la direction et la raideur des câbles de commandes.

Effets gyroscopiques

Tourner la roue avant provoque un moment de roulis causé par la précession gyroscopique. La valeur de ce moment est proportionnelle au moment d'inertie de la roue avant, sa vitesse de rotation(dans le sens d'avance), la vitesse à laquelle le pilote tourne le guidon et le cosinus de l'angle entre l'axe de direction et la verticale.

Pour une moto roulant à 22 m/s, dont la roue avant possède un moment d'inertie de t 0.6 kgm, tourner la roue avant d'un degré en une demi seconde génère un moment de roulis de 3.5 Nm. EN comparaison, la force latéral sur le pneu avant lorsqu'il "sort" du plan vertical de la moto atteint un maximum de 50 N. Ceci, agissant à 0.6 m (2 ft) du centre de masse, génère un moment de roulis de 30 Nm.

Même si le moment issue des effet gyroscopiques atteint seulement 12% de cette valeur, il peut jouer un rôle significatif car il agit dès que le pilote applique l'effort, et non pas progressivement lorsque les roues se décalent, cela peut être tr!s utile en compétition motocycliste.

Direction à deux roues

Du fait des bénéfices théoriques, comme par exemple un rayon de braquage très faible a fiable vitesse, certains ont essayé de concevoir des motocyclette où les deux roues sont directrices. Un prototype fonctionnel conçu par Ian Drysdale en Australie a été rapporté comme "fonctionnant très bien"."

Une des questions de conception est de savoir s'il faut assurer un contrôle actif de la roue arrière ou au contraire la laisser libre de dévier. Dans le cas du contrôle actif, l'algorithme de contrôle doit décider s'il doit diriger la roue arrière dans le même sens que la roue avant ou pas, à quel moment et avec quel intensité. On peut trouver un exemple d'implémentation des 2 roues directrice sur les bicyclettes Sideway  Sideways bikes  ⇔  traduction difficile pour ces vélo pour le moins originaux, pourquoi ne pas laisser l'original) laisse le pilote diriger les deux roues directement.

Direction arrière

En raison de ses bénéfices sur le papier, plusieurs tentatives on été faites pour construire un cycle avec la roue arrière directrice. La société Bendix a essayé de construire un tel cycle et le département américain des transport a commandé la construction d'une moto à roue arrière directrice : les deux prototypes ne sont pas pilotables. Rainbow Trainers Inc offre 5000 US$ a la première personne capable de piloter un cycle à roue arrière directrice... Un exemple documenté de réussite dans le pilotage du tel cycle est celui de L. H. Laiterman du MIT sur un cycle allongé spécifique. La difficulté réside dans le fait que tourner la roue arrière vers la droite déclenche un déplacement du centre de gravité vers la droite et vice versa. Cela complique la tache de compensation des inclinaisons provoquées par l'extérieur. L'étude des valeurs propres montre que le cycle a roue arrière directrice est intrinséquement instable.

Direction centrale

Entre les deux extrêmes : les cycles classiques à roue avant directrice et ceux à roue arrière directrice , il existe les cycles où le point de pivot de la direction est situé entre le deux points extrêmes, in les appel les cycle à direction centrale. Cette solution autorise des systèmes à traction avant simple et se trouve être assez stable, comme le montre de nombreuses images. Ces solutions ont généralement des angle de chasse très large (entre 40° et 65°) et une chasse positive ou négative. Le constructeur d'un cycle à chasse négative déclare que diriger un cycle hors de la trajectoire rectiligne force le pilote à se relever légèrement ce qui compense l'effet déstabilisant de la chasse négative. Mages, Jürgen : Python Frame Geometry. Consulté le 2006-12-15.

L'effet gourvernail

L'effet gouvernail est l'expression utilisé pour décrire la manière dont un guidon qui s'étend fortement en arrière de l'axe de direction agit comme le gouvernail d'un bateau. En effet il faut déplace le guidon vers la droite pour virer à gauche et vice versa. Cette situation se retrouve souvent sur les cycle de type Cruiser, certains modèles couchés et même certaines motos cruiser. Cela peut être troublant voir gênant quand cela limite la possibilité de tourner à cause de l'incompatibilité avec l'amplitude des bras. Brown, Sheldon : Sheldon Brown's Bicycle Glossary, Sheldon Brown. Consulté le 2006-08-08.

Les pneumatiques

Les pneumatiques ont une forte influence sur la maniabilité du cycle, en particulier sur les motos. ref name="Foale">(en) Tony Foale, Motorcycle Handling and Chassis Design, Tony Foale Designs, 2006,  p.  . Les pneu ont, dans la réalité, une surface de contact finie avec le sol finie et peuvent donc générer un couple de frottement. Ainsi, pendant un virage, ils peuvent déraper sur le côté et ainsi provoquer un couple par rapport à l'axe normal au plan de contact.

Un tel couple est généré par l'asymétrie du dérapage le long de la surface de contact.One such torque is generated by asymmetries in the side-slip along the length of the contact patch. The resultant force of this side-slip occurs behind the geometric center of the contact patch, a distance described as the pneumatic trail, and so creates a torque on the tire. Since the direction of the side-slip is towards the outside of the turn, the force on the tire is towards the center of the turn. Therefore, this torque tends to turn the front wheel in the direction of the side-slip, away from the direction of the turn, and therefore tends to increase the radius of the turn.

Another torque is produced by the finite width of the contact patch and the lean of the tire in a turn. The portion of the contact patch towards the outside of the turn is actually moving rearward, with respect to the wheel's hub, faster than the rest of the contact patch, because of its greater radius from the hub. By the same reasoning, the inner portion is moving rearward more slowly. So the outer and inner portions of the contact patch slip on the pavement in opposite directions, generating a torque that tends to turn the front wheel in the direction of the turn, and therefore tends to decrease the turn radius.

The combination of these two opposite torques creates a resulting yaw torque on the front wheel, and its direction is a function of the side-slip angle of the tire, the angle between the actual path of the tire and the direction it is pointing, and the camber angle of the tire (the angle that the tire leans from the vertical). The result of this torque is often the suppression of the inversion speed predicted by rigid wheel models described above in the section on steady-state turning.

Because the front and rear tires can have different slip angles due to weight distribution, tire properties, etc., bikes can experience understeer or oversteer. Of the two, understeer, in which the front wheel slides more than the rear wheel, is more dangerous since front wheel steering is critical for maintaining balance.

Most of the braking force of standard upright bikes comes from the front wheel. If the brakes themselves are strong enough, the rear wheel is easy to skid, while the front wheel often can generate enough stopping force to flip the rider and bike over the front wheel. This is called a stoppie if the rear wheel is lifted but the bike does not flip, or an endo (abbreviated form of end-over-end) if the bike flips. Long or low bikes, however, such as cruiser motorcycles and recumbent bicycles, can also skid the front tire, causing a loss of balance.

Stabilité longitudinale

Mechanical analysis, with Euler's second law, of the forces generated by a bike with a wheelbase L and a center of mass at height h and halfway between the wheels, with both wheels locked, reveals that the normal (vertical) forces at the wheels are:

$N_r=mg\left(\frac{1}{2}-\mu \frac{h}{L}\right)$ for the rear wheel and $N_f=mg\left(\frac{1}{2}+\mu \frac{h}{L}\right)$ for the front wheel,

while the frictional (horizontal) forces are simply F_r = μN_r for the rear wheel and F_f = μN_f for the front wheel, where μ is the coefficient of friction, m is the mass, and g is the acceleration of gravity. Therefore, if

then the normal force of the rear wheel will be zero (at which point the equation no longer applies) and the bike will begin to flip forward over the front wheel. This phenomenon is known as load transfer or weight transfer, depending on the author.

The coefficient of friction of rubber on dry asphalt is between 0.5 and 0.8. Using the lower value of 0.5, and assuming the center of mass height is greater than or equal to the wheelbase, the front wheel can generate enough stopping force to flip the bike and rider forward over the front wheel.

On the other hand, if the center of mass height is less than half the wheelbase and at least halfway towards the rear wheel, as is true, for example on a tandem or a long-wheel-base recumbent, then, even if the coefficient of friction is 1.0, it is impossible for the front wheel to generate enough braking force to flip the bike. It will skid unless it hits some fixed obstacle, such as a curb.

In the case of a front suspension, especially telescoping fork tubes, this increase in downward force on the front end may cause the suspension to compress and the front end to lower. This is known as brake diving. A riding technique that takes advantage of how braking increases the downward force on the front wheel is known as trail braking.

Front wheel braking

The limiting factors on the maximum deceleration in front wheel braking are:

• the maximum, limiting value of static friction between the tire and the ground,
• the kinetic friction between the brake pads and the rim or disk,
• pitching (of bike and rider) over the front wheel.

For an upright bicycle on dry asphalt with excellent brakes, pitching will probably be the limiting factor. The combined center of mass of a typical upright bicycle and rider will be about Modèle:Cm to in back from the front wheel contact patch and Modèle:Cm to in above, allowing a maximum deceleration of 0,5 g (4,9 m/s² or 16 ft/s²). If the rider modulates the brakes properly, however, pitching can be avoided. If the rider moves his weight back and down, even larger decelerations are possible.

Front brakes on many inexpensive bikes are not strong enough so, on the road, they are the limiting factor. Cheap cantilever brakes, especially with "power modulators", and Raleigh-style side-pull brakes severely restrict the stopping force. In wet conditions they are even less effective.

Front wheel slides are more common off-road. Mud, water, and loose stones reduce the friction between the tire and trail, although knobby tires can mitigate this effect by grabbing the surface irregularities. Front wheel slides are also common on corners, whether on road or off. Centripetal acceleration adds to the forces on the tire-ground contact, and when the friction force is exceeded the wheel slides.

Of course, the angle of the terrain can influence all of the calculations above. All else remaining equal, the risk of pitching over the front end is reduced when riding up hill and increased when riding down hill.

Rear wheel braking

The rear brake of a upright bicycle can only produce about 0.1 g deceleration at best, because of the decrease in normal force at the rear wheel as described above. All bikes with only rear braking are subject to this limitation: for example, bikes with only a Freins à rétropédalage, and fixed-gear bikes with no other braking mechanism.

The study of vibration in bikes includes its causes, such as engine balance, wheel balance, ground surface, and aerodynamics; its transmission and absorption; and its effects on the bike, the rider, and safety. An important factor in any vibration analysis is a comparison of the natural frequencies of the system with the possible driving frequencies of the vibration sources. A close match means mechanical resonance that can result in large amplitudes. A challenge in vibration damping is to create compliance in certain directions (vertically) without sacrificing frame rigidity needed for power transmission and handling (torsionally). Another issue with vibration for the bike is the possibility of failure due to material fatigue

Effects of vibration on riders include discomfort, loss of efficiency, Hand-Arm Vibration Syndrome, a secondary form Raynaud's disease, and whole body vibration. Vibrating instruments may be inaccurate or difficult to read.

In bicycles

The primary cause of vibrations in a properly functioning bicycle is the surface over which it rolls. In addition to pneumatic tires and traditional bicycle suspensions, a variety of techniques have been developed to damp vibrations before they reach the rider. These include materials, such as carbon fiber, either in the whole frame or just key components such as the front fork, seatpost, or handlebars; tube shapes, such as curved seat stays; and special inserts, such as Zertz by Specialized, and Buzzkills by Bontrager.

In motorcycles

In addition to the road surface, vibrations in a motorcycle can be caused by the engine and wheels, if unbalanced. Manufacturers employ a variety of technologies to reduce or damp these vibrations, such as engine balance shafts, rubber engine mounts, and tire weights. The problems that vibration causes have also spawned an industry of after-market parts and systems designed to reduce it. Add-ons include handlebar weights, isolated foot pegs, and engine contrepoids.

At high speeds, motorcycles and their riders may also experience aerodynamic flutter or buffeting. This can be abated by changing the air flow over key parts, such as the windshield.

Bike maneuverability and handling is difficult to quantify for several reasons. The geometry of a bike, especially the steering axis angle makes kinematic analysis complicated. Under many conditions, bikes are inherently unstable and must always be under rider control. Finally, the rider's skill has a large influence on the bike's performance in any maneuver.

Bike designs tend to consist of a trade-off between maneuverability and stability.

Rider control inputs

The primary control input that the rider can make is to apply a torque directly to the steering mechanism via the handlebars. Because of the bike's own dynamics, due to steering geometry and gyroscopic effects, direct control over steering angle has been found to be problematic.

A secondary control input that the rider can make is to lean the upper torso relative to the bike. As mentioned above, the effectiveness of rider lean varies inversely with the mass of the bike. On heavy bikes, such as motorcycles, rider lean mostly alters the ground clearance requirements in a turn, improves the view of the road, and improves the bike system dynamics in a very low-frequency passive manner.

Differences from automobiles

The need to keep a bike upright to avoid injury to the rider and damage to the vehicle even limits the type of maneuverability testing that is commonly performed. For example, while automobile enthusiast publications often perform and quote skidpad results, motorcycle publications do not.

The need to "set up" for a turn, lean the bike to the appropriate angle, means that the rider must see further ahead than is necessary for a typical car at the same speed, and this need increases more than in proportion to the speed.

Rating schemes

Several schemes have been devised to rate the handling of bikes, particularly motorcycles.

The roll index is the ratio between steering torque and roll or lean angle.

The acceleration index is the ratio between steering torque and lateral or centripetal acceleration.

The steering ratio is the ratio between the theoretical turning radius based on ideal tire behavior and the actual turning radius. Values less than one, where the front wheel side slip is greater than the rear wheel side slip, are described as under-steering; equal to one as neutral steering; and greater than one as over-steering. Values less than zero, in which the front wheel must be turned opposite the direction of the curve due to much great rear wheel side slip than front wheel have been described as counter-steering. Riders tend to prefer neutral or slight over-steering. Car drivers tend to prefer under-steering.

The Koch index is the ratio between peak steering torque and the product of peak lean rate and forward speed. Large, touring motorcycles tend to have a high Koch index, sport motorcycles tend to have a medium Koch index, and scooters tend to have a low Koch index. It is easier to maneuver light scooters than heavy motorcycles.

Although its equations of motion can be linearized, a bike is a nonlinear system. The variable(s) to be solved for cannot be written as a linear sum of independent components, i.e. its behavior is not expressible as a sum of the behaviors of its descriptors. Generally, nonlinear systems are difficult to solve and are much less understandable than linear systems.

In the idealized case, in which friction and any flexing is ignored, a bike is a conservative system. Damping, however, can still be demonstrated: side-to-side oscillations will decrease with time. Energy added with a sideways jolt to a bike running straight and upright (demonstrating self-stability) is converted into increased forward speed, not lost, as the oscillations die out.

A bike is a nonholonomic system because its outcome is path-dependent. In order to know its exact configuration, especially location, it is necessary to know not only the configuration of its parts, but also their histories: how they have moved over time. This complicates mathematical analysis.

Finally, in the language of control theory, a bike exhibits non-minimum phase behavior. It turns in the direction opposite of how it is initially steered, as described above in the section on countersteering

Degrees of freedom

The number of degrees of freedom of a bike depends on the particular model being used. The simplest model that captures the key dynamic features, four rigid bodies with knife edge wheels rolling on a flat smooth surface, has 7 degrees of freedom (configuration variables required to completely describe the location and orientation of all 4 bodies):

1. x coordinate of rear wheel contact point
2. y coordinate of rear wheel contact point
3. orientation angle of rear frame (yaw)
4. rotation angle of rear wheel
5. rotation angle of front wheel
6. lean angle of rear frame (roll)
7. steering angle between rear frame and front end

Adding complexity to the model, such as suspension, tire compliance, frame flex, or rider movement, adds degrees of freedom. While the rear frame does pitch with leaning and steering, the pitch angle is completely constrained by the requirement for both wheels to remain on the ground, and so can be calculated geometrically from the other seven variables. If the location of the bike and the rotation of the wheels are ignored, the first five degrees of freedom can also be ignored, and the bike can be described by just two variables: lean angle and steer angle.

Equations of motion

The equations of motion of an idealized bike, consisting of

• a rigid frame,
• a rigid fork,
• two knife-edged, rigid wheels,
• all connected with frictionless bearings and rolling without friction or slip on a smooth horizontal surface and
• operating at or near the upright and straight-ahead, unstable equilibrium

can be represented by a single fourth-order linearized ordinary differential equation or two coupled second-order differential equations, the lean equation

and the steer equation

where

• θ_r is the lean angle of the rear assembly,
• ψ is the steer angle of the front assembly relative to the rear assembly and
• M_θ and M_ψ are the moments (torques) applied at the rear assembly and the steering axis, respectively. For the analysis of an uncontrolled bike, both are taken to be zero.

These can be represented in matrix form as where

• M is the symmetrical mass matrix which contains terms that include only the mass and geometry of the bike,
• C is the so-called damping matrix, even though an idealized bike has no dissipation, which contains terms that include the forward speed V and is asymmetric,
• K is the so-called stiffness matrix which contains terms that include the gravitational constant g and V and is symmetric in g and asymmetric in V,
• $\mathbf{q}$ is a vector of lean angle and steer angle, and
• $\mathbf{f}$ is a vector of external forces, the moments mentioned above.

In this idealized and linearized model, there are many geometric parameters (wheelbase, head angle, mass of each body, wheel radius, etc.), but only four significant variables: lean angle, lean rate, steer angle, and steer rate. These equations have been verified by comparison with multiple numeric models derived completely independently.

Eigenvalues

It is possible to calculate eigenvalues, one for each of the four state variables (lean angle, lean rate, steer angle, and steer rate), from the linearized equations in order to analyze the normal modes and self-stability of a particular bike design. In the plot to the right, eigenvalues of one particular bicycle are calculated for forward speeds of 0–10 m/s (22 mph). When the real parts of all eigenvalues (shown in dark blue) are negative, the bike is self-stable. When the imaginary parts of any eigenvalues (shown in cyan) are non-zero, the bike exhibits oscillation.

There are three forward speeds that can be identified in the plot to the right at which the motion of the bike changes qualitatively:

1. The forward speed at which oscillations begin, at about 1 m/s (2.2 mph) in this example, sometimes called the double root speed due to there being a repeated root to the characteristic polynomial (two of the four eigenvalues have exactly the same value). Below this speed, the bike simply falls over as an inverted pendulum does.
2. The forward speed at which oscillations do not increase, where the weave mode eigenvalues switch from positive to negative in a Hopf bifurcation at about 5.3 m/s (12 mph) in this example, is called the weave speed. Below this speed, oscillations increase until the uncontrolled bike falls over. Above this speed, oscillations eventually die out.
3. The forward speed at which non-oscillatory leaning increases, where the capsize mode eigenvalues switch from negative to positive in a pitchfork bifurcation at about 8.0 m/s (18 mph) in this example, is called the capsize speed. Above this speed, this non-oscillating lean eventually causes the uncontrolled bike to fall over.

Between these last two speeds, if they both exist, is a range of forward speeds at which the particular bike design is self-stable. In the case of the bike whose eigenvalues are shown here, the self-stable range is 5.3–8.0 m/s (12–18 mph). The fourth eigenvalue, which is usually stable (very negative), represents the castoring behavior of the front wheel, as it tends to turn towards the direction in which the bike is traveling. Note that this idealized model does not exhibit the wobble or shimmy and rear wobble instabilities described above. They are seen in models that incorporate tire interaction with the ground or other degrees of freedom.

Experimentation with real bikes has so far confirmed the weave mode predicted by the eigenvalues. It was found that tire slip and frame flex are not important for the lateral dynamics of the bicycle in the speed range up to 6 m/s.

The idealized bike model used to calculate the eigenvalues shown here does not incorporate any of the torques that real tires can generate, and so tire interaction with the pavement cannot prevent the capsize mode from become unstable at high speeds, as Wilson and Cossalter suggest happens in the real world.

A variety of experiments have been performed in order to verify or disprove various hypotheses about bike dynamics.

• David Jones built several bikes in a search for an unridable configuration.
• Richard Klein built several bikes to confirm Jones's findings.
• Richard Klein also built a "Torque Wrench Bike" and a "Rocket Bike" to investigate steering torques and their effects.
• Keith Code built a motorcycle with fixed handlebars to investigate the effects of rider motion and position on steering.
• Schwab and Kooijman have performed measurements with an instrumented bike.

Although bicycles and motorcycles can appear to be simple mechanisms with only four major moving parts (frame, fork, and two wheels), these parts are arranged in a way that makes them complicated to analyze. While it is an observable fact that bikes can be ridden even when the effet gyroscopique of their wheels are canceled out, the hypothesis that the gyroscopic effects of the wheels are what keep a bike upright is common in print and online.

Examples in print:

• "Angular momentum and motorcycle counter-steering: A discussion and demonstration", A. J. Cox, Am. J. Phys. 66, 1018–1021 ~1998
• "The motorcycle as a gyroscope", J. Higbie, Am. J. Phys. 42, 701–702
• The Physics of Everyday Phenomena, W. T. Griffith, McGraw–Hill, New York, 1998, p. 149–150.
• The Way Things Work., Macaulay, Houghton-Mifflin, New York, NY, 1989

And online:

• www.physlink.com
• www.straightdope.com
• www.everything2.com
• library.thinkquest.org
• www.rider-ed.com
• www.totalmotorcycle.com
• The Third Gyroscope
• www.motorcyclists-online.com