Électrodynamique des milieux continus

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Introduction

L'électrodynamique des milieux continus décrit les phénomènes électromagnétiques macroscopiques se déroulants au sein d'un milieu matériel, décrit comme un milieu continu.

L'hypothèse du milieu continu

Si l'on regarde la matière de « très près » (échelle nanoscopique), la matière est granulaire, faite d'atomes. Mais à l'œil nu (donc en se plaçant à notre échelle macroscopique), un objet solide ou fluide semble continu, c'est-à-dire que ses propriétés semblent varier progressivement, sans à-coups.

L'hypothèse des milieux continus consiste à considérer des milieux dont les propriétés caractéristiques qui nous intéressent — densité, élasticité, etc. — sont continues. Une telle hypothèse permet d'avoir recours aux outils mathématiques reposant sur les fonctions continues et/ou dérivables.

Des hypothèses supplémentaires peuvent éventuellement être faites ; ainsi un milieu continu peut être :

linéaire
homogène : ses propriétés sont les mêmes en tout point.
isotrope : ses propriétés ne dépendent pas du repère dans lequel elles sont observées ou mesurées.
parfait : le milieu se polarise ou s'aimante instantanément lorsqu'un champ extérieur est appliqué
ohmique : lorsque le milieu est conducteur, la densité de courant qui le traverse est proportionnelle au champ électrique.

Notations

Les grandeurs électromagnétiques dépendent des variables d'espace $r$ et de temps $t$ , ou de la fréquence normalisée ω (régime harmonique). Ces grandeurs sont réelles mais peuvent être notées par des grandeurs complexes.

Grandeurs électriques

Grandeur	Dénomination	Unités SI
$E (r, t)$ ou $E (r, ω)$	Vecteur champ électrique	Volt par mètre : V.m
$D (r, t)$ ou $D (r, ω)$	Vecteur induction électrique	Coulomb par mètre carré : C.m
$ρ (r, t)$ ou $ρ (r, ω)$	Densité de charge électrique	Coulomb par mètre cube : C.m
$P (r, t)$ ou $P (r, ω)$	Vecteur polarisation	Coulomb par mètre carré : C.m
$ϵ (r, t)$ ou $ϵ (r, ω)$	Permittivité absolue du milieu continu	Farad par mètre : F.m
ε₀	Permittivité du vide	Farad par mètre : F.m

Grandeurs magnétiques

Grandeur	Dénomination	Unités SI
$H (r, t)$ ou $H (r, ω)$	Vecteur champ magnétique	Ampère par mètre : A.m
$B (r, t)$ ou $B (r, ω)$	Vecteur induction magnétique	Weber par mètre carré : W.m , ou Tesla : T
$J (r, t)$ ou $J (r, ω)$	Vecteur densité de courant	Ampère par mètre carré : A.m
$M (r, t)$ ou $M (r, ω)$	Vecteur aimantation	Ampère par mètre carré : A.m
$μ (r, t)$ ou $μ (r, ω)$	Perméabilité absolue du milieu continu	Henry par mètre : H.m
μ₀	Perméabilité du vide	Henry par mètre : H.m

Remarque : selon les auteurs et les sources, le champ magnétique est désigné par $H$ ou $B$ . Historiquement, $H$ fut désigné comme "champ magnétique", et $B$ comme "induction magnétique", cependant aujourd'hui $B$ désigne le champ magnétique dans le vide. En fait, il faut faire la distinction entre les conditions du vide ou d'un milieu microscopique (équivalent au vide localement), et les conditions d'un milieu matériel mésoscopique ou macroscopique. Dans le vide, $B$ et $H$ désignent la même chose (à une constante près μ₀) et la notion "d'induction magnétique" n'a pas vraiment de sens, $B$ et $H$ désignent donc la même chose, le "champ magnétique". Dans un milieu matériel, c'est $H$ qui est mesuré et qui à les propriétés mathématiques d'un champ vectoriel (comme le champ électrique), la terminaison "champ magnétique" est donc préférablement attribuée à $H$ pour les milieux matériels.

Outils différentiels

Grandeur	Dénomination	Unités SI
$d l (r)$	Différentielle orientée de chemin Vecteur	Mètre : m
$d S (r)$	Différentielle orientée de surface	Mètre carré : m
dV	Différentielle de volume V	Mètre cube : m
$\nabla_{r}$	Opérateur différentiel Nabla	Par mètre : m

Remarque; Selon les auteurs on trouve parfois le vecteur A ( $A$ ) pour la surface mais cela pose un risque de confusion avec le potentiel vecteur noté de la même manière. C'est pourquoi on utilise S ici.

Lois fondamentales

En général, afin de décrire l'électrodynamique des milieux, l'on pose les 3 postulats fondamentaux suivants:

Équations de Maxwell macroscopiques

Quel que soit le milieu continu, les équations dites de Maxwell permettent de décrire l'évolution des grandeurs électromagnétiques dans ce milieu, et s'écrivent dans le système international des unités comme :

Loi	Forme "intégrale"	Forme "locale"
Loi d'induction de Faraday	$\oint_{C} E \cdot d l = - \frac{d}{d t} \int_{S} B \cdot d S$	$rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ ou $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$
Loi de Maxwell-Ampère	$\oint_{C} H \cdot d l = \int_{S} J \cdot d S + \frac{d}{d t} \int_{S} D \cdot d S$	$rot H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$ ou $\nabla \times H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$
Loi de Gauss	$\oint_{S} D \cdot d S = \int_{V} ρ \cdot d V$	$div D = ρ$ ou $\nabla \cdot D = ρ$
Absence de monopôles magnétiques		ou $\nabla \cdot B = 0$

Relations de passage

Les relations précédentes gouvernent l'évolution des grandeurs électromagnétiques dans chaque milieu continu, toutefois il est donc nécessaire d'y ajouter les règles qui décrivent le passage d'un milieu à l'autre :

Relation de passage	Forme "locale"
Continuité de la composante tangentielle de $E$	$n 12 \land (E 2 - E_{1}) = 0$
Saut de la composante tangentielle de $H$	$n 12 \land (H 2 - H_{1}) = J_{s}$
Saut de la composante normale de $D$	$n 12 . (D 2 - D 1) = ρ s$
Continuité de la composante normale de $B$	$n 12 . (B 2 - B_{1}) = 0$

Où $J_{s}$ et ρ_s représentent respectivement le vecteur densité superficielle de courant, et la densité superficielle de charge, qui peuvent exister à l'interface séparant les deux milieux.

A noter que ces relations de passage ne sont pas indépendantes des équations de Maxwell, elles peuvent très bien en être déduites tout naturellement. Une démonstration rigoureuse existe au sens mathématique en utilisant la théorie des distributions de L. Schwarz, et en considérant que les équations de Maxwell sont vraies au sens des distributions. Cependant, pour des raisons pratiques, il est beaucoup plus commode de considérer séparément les équations de Maxwell prises au sens des fonctions, et les relations de passage.

Force exercée sur une charge

Voir l'article sur la Force électromagnétique ou Force de Lorentz. Dans un milieu continu, cela permet d'expliquer l'effet Hall ou la force de Laplace.

Relations de constitution

Les équations de Maxwell citées ci-dessus sont vraies a priori dans un milieu quelconque, et donnent la dynamique des champs. Cependant, elles ne permettent pas de caractériser complètement le problème, puisque le système à résoudre contient plus d'inconnues que d'équations. Il faut donc émettre des hypothèse supplémentaires qui relient les champs $E (r, t)$ , $H (r, t)$ , $D (r, t)$ et $B (r, t)$ entre eux, via les propriétés physiques (permittivité, perméabilité, conductivité) du milieu continu considéré. Ces relations de physiciens sont appelés "relations de constitution" du milieu.

Les différentes relations existantes

Milieu linéaire :

D (r, ω) = [ϵ (r, ω)] * E (r, ω) = \int_{V} [ϵ (r - r^{'}, ω)] E (r^{'}, ω) d r^{'}

B (r, ω) = [μ (r, ω)] * H (r, ω) = \int_{V} [μ (r - r^{'}, ω)] H (r^{'}, ω) d r^{'}

où $[ϵ (r, ω)]$ et $[μ (r, ω)]$ sont des matrices 3x3, appelées respectivement permittivité absolue du milieu, et perméabilité absolue du milieu. Dans l'expression des champs dans l'espace spatiale réciproque (transformée de Fourier en trois dimensions), le produit de convolution serait remplacé par un simple produit.

Échappent à ces relations, entre autres, les milieux non linéaires (avec par exemple $D (r, ω)$ qui dépend des termes quadratiques de $E (r, ω)$ ), et les milieux dits "chiraux" (par exemple $D (r, ω)$ dépend de $E (r, ω)$ mais aussi de $H (r, ω)$ ).

Milieu linéaire local : le champ induit en un point ne dépend que des propriétés du milieu et du champ inducteur en ce point, le produit de convolution spatial est donc remplacé par un produit classique :

D (r, ω) = [ϵ (r, ω)] E (r, ω)

B (r, ω) = [μ (r, ω)] H (r, ω)

Milieu linéaire homogène : même propriétés du milieu en chaque point, $[ϵ (r, ω)]$ et $[μ (r, ω)]$ sont des matrices 3x3 dont les coefficients ne dépendent pas de la position :

D (r, ω) = [ϵ (ω)] * E (r, ω)

B (r, ω) = [μ (ω)] * H (r, ω)

Échappent à ces relations (milieux inhomogènes), par exemple, les milieux dont les propriétes sont influencées par un gradient de température, ce qui donne le phénomène de mirage.

Milieu linéaire isotrope : même propriétés dans toutes les directions, $[ϵ (r, ω)]$ et $[μ (r, ω)]$ sont diagonalisables, avec mêmes coefficients sur la diagonales, ce qui ramène à une fonction :

D (r, ω) = ϵ (r, ω) * E (r, ω)

B (r, ω) = μ (r, ω) * H (r, ω)

Échappent à ces relations (milieux anisotropes), par exemple, les milieux biréfringents (la matrice est diagonale, mais avec des coefficients différents), milieux gyrotropes...

Milieu linéaire non dispersif : dans certains diélectriques, et pour une certaine bande de fréquence, on suppose que la permittivité et la perméabilité ne dépendent pas de la fréquence normalisée :

D (r, ω) = [ϵ (r)] * E (r, ω)

B (r, ω) = [μ (r)] * H (r, ω)

Milieu parfait : milieu linéaire, local, homogène, isotrope et non dispersif :

D (r, ω) = ϵ E (r, ω)

B (r, ω) = μ H (r, ω)

Un milieu parfait par excellence est le vide. Les relations de constitution du vide s'écrivent :

D (r, ω) = ϵ_{0} E (r, ω)

B (r, ω) = μ_{0} H (r, ω)

où ε₀ et μ₀ sont des constantes universelles appelées respectivement permittivité du vide et perméabilité du vide.

Milieu ohmique : dans les métaux, relation entre le vecteur densité de courant et le champ électrique :

J (r, ω) = σ (ω) E (r, ω)

Construction à partir du vide

Il est possible de "construire" les relations de constitution des milieux continus en partant des relations de constitutions du vide. Bien que cette construction ne soit pas universelle, puisqu'on suppose que le milieu continu est aussi linéaire, elle a pour intérêt d'être esthétique et pratique. Elle consiste à dire que si on applique au milieu un champ électrique extérieur, la matière à l'intérieur du milieu peut "se polariser" par rapport à ce champ, et ainsi créer un champ supplémentaire appelé polarisation $P (r, ω)$ . De même, en présence d'un champ magnétique extérieur, la matière à l'intérieur du milieu peut "s'aimanter" par rapport à ce champ, et ainsi créer un champ supplémentaire appelé aimantation $M (r, ω)$ .

D (r, ω) = ϵ_{0} E (r, ω) + P (r, ω)

B (r, ω) = μ_{0} (H (r, ω) + M (r, ω))

Comme $P (r, ω)$ est engendré par l'action du champ $E (r, ω)$ sur la matière, $P (r, ω)$ est fonction de $E (r, ω)$ et varie de manière linéaire par rapport à celui-ci. Il en est de même pour $M (r, ω)$ par rapport à $H (r, ω)$ . Ce que l'on peut résumer sous la forme :

P (r, ω) = ϵ_{0} [χ_{e} (r, ω)] * E (r, ω)

M (r, ω) = [χ_{m} (r, ω)] * H (r, ω)

Où $[χ_{e} (r, ω)]$ et $[χ_{m} (r, ω)]$ sont désignés respectivement comme la susceptibilité électrique, et la susceptibilité magnétique du milieu. Elles sont caractéristiques du milieu, et le définissent en quelque sorte. Ce sont des matrices 3x3, dont les coefficients sont sans dimension, il en ressort que la polarisation et l'aimantation résultantes ne sont pas forcément orientés comme le champ électromagnétique extérieur qui les a engendré. Il vient :

D (r, ω) = ϵ_{0} ([I d] + [χ_{e} (r, ω)]) * E (r, ω)

B (r, ω) = μ_{0} ([I d] + [χ_{m} (r, ω)]) * H (r, ω)

Il est commode alors de définir les grandeurs suivantes :

[ϵ_{r} (r, ω)] = [I d] + [χ_{e} (r, ω)]

[μ_{r} (r, ω)] = [I d] + [χ_{m} (r, ω)]

Respectivement la permittivité relative et la perméabilité relative du milieu. Ce sont aussi des matrices 3x3 dont les coefficients sont sans dimension. Il est très utile de définir ces grandeurs qui servent le plus souvent dans les équations et les calculs en électrodynamique des milieux continus (plus que les susceptibilités).

Enfin en définissant les grandeurs $[ϵ (r, ω)] = ϵ_{0} [ϵ_{r} (r, ω)]$ et $[μ (r, ω)] = μ_{0} [μ_{r} (r, ω)]$ , on retombe sur la permittivité absolue et la perméabilité absolue définie dans le cas des milieux continus linéaires. On retrouve alors les relations de constitutions d'un milieu linéaire (premières relations énoncées) :

D (r, ω) = [ϵ (r, ω)] * E (r, ω)

B (r, ω) = [μ (r, ω)] * H (r, ω)