Ensemble algébrique

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Introduction

En géométrie algébrique, les ensembles algébriques sont, grosso modo, les points d'une variété algébrique affine ou projective. Ils servent de support intuitif à la géométrie algébrique.

Ensembles algébriques affines

Dans cette section k désignera un corps algébriquement clos (par exemple ℂ), n un entier supérieur ou égal à un. On considère l'espace affine de dimension n sur k, c’est-à-dire l'ensemble k (dépourvu de structure algébrique).

Définition. Soit S une partie de l'anneau des polynômes $k [X_{1}, \dots, X_{n}]$ , on appelle ensemble algébrique associé à S et on note Z(S) le sous-ensemble de k suivant :

Z (S) = {(x_{1}, \dots, x_{n}) \in k^{n} ∣ \forall f \in S, f (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0}

c’est-à-dire le lieu d'annulation commun à tous les éléments de S.

Remarques

Si I est l'idéal de $k [X_{1}, \dots, X_{n}]$ engendré par S, alors Z(I) = Z(S). En particulier, comme $k [X_{1}, \dots, X_{n}]$ est noethérien, I est engendré par une partie finie S'. Il suit que Z(S) = Z(S'). Autrement dit, un ensemble algébrique est toujours le lieu d'annulation commun à un nombre fini de polynômes.
Etant donné un ensemble algébrique $E \subset k^{n}$ , on peut retourner dans les idéaux de $k [X_{1}, \dots, X_{n}]$ en posant I(E) l'ensemble des polynômes s'annulant sur E. I(E) est alors un idéal radiciel. Par exemple pour k=ℂ, l'ensemble algébrique défini par z² = 0 est réduit au point 0. En revanche l'idéal engendré par le polynôme Z² n'est pas radiciel car il ne contient pas Z. I(z²=0) est donc égal à son radical, à savoir z = 0.
Comme k est algébriquement clos, le théorème des zéros de Hilbert affirme que la fonction I est une bijection entre les ensembles algébriques de k et les idéaux radiciels de $k [X_{1}, \dots, X_{n}]$ . Les points d'un ensemble algébrique E correspondent aux idéaux maximaux de $k [X_{1}, \dots, X_{n}] / I (E)$ .
Un ensemble algébrique E est dit irréductible ssi I(E) est un idéal premier.

Exemples :

Dans le plan affine k, le lieu d'annulation d'un polynôme à deux variables non-nul est un ensemble algébrique affine appelé courbe plane et le degré du polynôme est appelé degré de la courbe. Les droites sont les ensembles algébriques de degré 1, les coniques ceux de degré 2, les cubiques ceux de degré 3 et ainsi de suite.
Dans l'espace affine k le lieu d'annulation d'un polynôme à trois variables non-nul est un ensemble algébrique affine qui est une surface algébrique . Tout comme pour les courbes on définit le degré d'une surface, les plans sont de degré 1, les quadriques de degré 2 etc.
Dans un espace affine, tout ensemble fini de points est un ensemble algébrique affine.

Propriétés:

Z({0}) = k, Z({1}) est vide;
$Z (I) \cup Z (J) = Z (I \cap J)$ ;
L'intersection d'une famille d'ensembles algébriques Z(I_λ) est égale à Z(I), où I est l'idéal engendré par $\cup_{λ} I_{λ}$ .

Ensembles algébriques projectifs

La géométrie algébrique projective est un cadre plus confortable que la géométrie affine. La projectivité est une propriété analogue à la compacité topologique. Le théorème de Bezout n'est vrai que pour des variétés projectives.

Cadre. Dans cette partie P(k) désigne l'espace projectif de dimension n sur k, c'est-à-dire l'ensemble $k^{n + 1} ∖ {0} / R$ , où R est la relation d'équivalence (relation de colinéarité) identifiant deux points x et y si et seulement si x et y sont sur la même droite vectorielle. L'espace projectif de dimension n s'identifie donc à l'ensemble des droites vectorielles d'un k-espace vectoriel de dimension n+1. La classe dans P(k) d'un point $(x_{0}, \dots, x_{n})$ est notée $(x_{0} : \dots : x_{n})$ . Les x_i sont les coordonnées homogènes du point $(x_{0} : \dots : x_{n})$ .

Définition. Soit S un ensemble de polynômes homogènes de l'anneau $k [X_{0}, \dots, X_{n}]$ . On appelle ensemble algébrique (projectif) associé à S et on note Z ₊ (S) le sous-ensemble suivant de P(k):

Z_{+} (S) = {(x_{0} : \dots : x_{n}) \in P^{n} (k) ∣ \forall f \in S, f (x_{0}, \dots, x_{n}) = 0} .

Remarquons que l'annulation du polynôme f en un point $(x_{0}, \dots, x_{n}) \neq = 0$ ne dépend que de la classe $(x_{0} : \dots : x_{n})$ de celui-ci modulo la relation R. L'ensemble Z_+(S) est donc bien défini. L'indice + sert à distinguer les zéros homogènes des zéros affines.

Exemple Soit F(X_0, X_1, X_2) un polynôme homogène à deux variables, non-nul, de degré d. L'ensemble algébrique projectif Z ₊ (F) du plan projectif P(k) est appelé une courbe projective plane, de degré d. Le polynôme $X_{0}^{n} + X_{1}^{n} - X_{2}^{n}$ (où n un entier naturel) défini une courbe projective plane dont les points sont les solutions homogènes d'une équation de Pell-Fermat.

Remarque.

Si I est l'idéal (homogène) de $k [X_{0}, \dots, X_{n}]$ engendré par S, alors Z ₊ (I) = Z ₊ (S). Donc un ensemble algébrique projectif peut toujours être défini par un nombre fini de polynômes homogènes.
Tout comme dans le cas des ensembles algébriques affines, il existe un théorème des zéros de Hilbert projectif qui établit une correspondance bijective entre les ensembles algébriques projectives dans P(k) et les idéaux homogènes radiciels distincts de $(X_{0}, \dots, X_{n})$ (idéal engendré par $X_{0}, \dots, X_{n}$ ). Un point de l'espace projectif correspond à un idéal premier homogène, maximal parmi ceux strictement contenus dans $(X_{0}, \dots, X_{n})$ . À un point de coordonnées homogènes $(x_{0} : \dots : x_{n})$ , on lui associe l'idéal engendré par les x_iX_j − x_jX_i, pour i et j variant entre 0 et n.

Propriétés:

Z ₊ ({0}) = P(k), Z ₊ ({1}) est vide;
$Z_{+} (I) \cup Z_{+} (J) = Z_{+} (I \cap J)$ ;
L'intersection d'une famille d'ensembles algébriques projectifs Z ₊ (I_λ) est égale à Z(I), où I est l'idéal engendré par $\cup_{λ} I_{λ}$ .

Topologie de Zariski

L'espace affine k (resp. projectif P(k)) est muni d'une topologie dite de Zariski. Les parties fermées pour cette topologie sont les ensembles algébriques dans k (resp. ensembles algébriques projectifs dans P(k)). La topologie de Zariski sur un ensemble algébrique (resp. ensemble algébrique projectif) est par définition la topologie induite par celle de l'espace affine (resp. projectif) qui le contient.

Les parties ouvertes remarquables de l'espace affine (resp. projectif) sont les ouverts principaux D(f) (resp. D ₊ (f)), c'est-à-dire le complémentaire de Z({f}) (resp. Z ₊ ({f})). La restriction d'un ouvert principal à un ensemble algébrique est appelé ouvert principal de l'ensemble algébrique. Les ouverts principaux forment une base de topologie.

Un sous-ensemble ouvert d'un ensemble algébrique affine (resp. projectif) est appelé quasi-affine (resp. quasi-projectif).

L'espace affine k est quasi-projectif car il s'identifie à l'ouvert P(k) − Z ₊ (X₀) de P(k) par l'application $(x_{1}, \dots, x_{n}) \to (1 : x_{1} : \dots : x_{n})$ . On vérifie que cette application induit un homéomorphisme de l'espace affine sur son image. Il suit que tout ensemble algébrique quasi-affine est quasi-projectif.

Exemple: Les parties fermées de la droite affine k sont les parties finies et k lui-même.

La topologie de Zariski est apparemment assez pauvre (peu d'ouverts, deux points ne sont en général pas séparés par des voisinages ouverts disjoints), mais elle est suffisante pour beaucoup de propos.

Relations entre ensembles algébriques affines et ensembles algébriques projectifs : Un ensemble algébrique projectif Z est réunion finie d'ouverts (pour sa topologie de Zariski) qui sont des ensembles algébriques affines. En effet, Z est défini par l'annulation de polynômes homogènes à n+1 variables. Notons Z_i l'ensemble des $(x_{0} : ... : x_{n}) \in Z$ tels que x_i soit non-nul. Alors $Z_{i} = Z ∖ Z \cap Z_{+} (x_{i})$ est ouvert dans Z; les Z_i recouvrent Z; il reste à voir que Z_i est un ensemble algébrique affine. Si Z = Z ₊ (S), et si S_i est l'ensemble des polynômes F(x₀,...,x_{i − 1},1,x_{i + 1},...,x_n) quand les F parcourent les polynômes homogènes dans S, alors on voit facilement que Z_i est l'ensemble algébrique Z(S_i) dans k.