Théorème des zéros de Hilbert

Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème de géométrie algébrique qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes $K[X_1,\dots ,X_n]$ par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de $K[X_1,\dots ,X_n]$. On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, ie l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1 Soient K un corps, A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente: si A est un corps, alors c'est une extension algébrique finie de K. Ce théorème, dont la preuve est relativement longue, a plusieurs conséquences immédiates.

Thèorème 2 (Nullstellensatz faible) Supposons que K est algébriquement clos. Alors la fonction

est une bijection (avec I l'idéal engendré).

Autrement dit un point de K s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à n indéterminées sur K quand K est algébriquement clos.

Théorème 3 (Existence des zéros) Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre I de K[X₁,...,X_n], il existe un point de K racine de tout élément de I.

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X + 1 est maximal dans R[X] puisque le quotient de R[X] par M est un corps isomorphe à C, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans r.

Théorème 4 Soit I un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical $\sqrt{I}$ de I est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant I.

Si P est un polynôme $\in K[X_1,\dots ,X_n]$, les zéros de P dans K sont les points $(a_1,\dots ,a_n)\in K^n$ tels que $P(a_1,\dots ,a_n)=0$.

Corollaire (Nullstellensatz fort) Supposons K algébriquement clos. Soient I un idéal de $K[X_1,\dots ,X_n]$ et Z(I) l'ensemble des zéros communs des polynômes P dans I. Si f est un polynôme dans $K[X_1,\dots ,X_n]$ qui s'annule sur Z(I), alors une puissance de f appartient à I.

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste:

• Tout idéal maximal M de $K[X_1,\dots ,X_n]$ (K non nécessairement clos) est engendré par n polynômes.

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de $K[X_1,\dots ,X_n]$ ne peut être engendré par strictement moins que n éléments.