Équation du temps

L’équation du temps est un paramètre utilisé en astronomie pour rendre compte du mouvement apparent relatif du soleil par rapport au soleil moyen, lesquels peuvent différer l'un par rapport à l'autre de plus ou moins un quart d'heure environ. D'une année sur l'autre, la courbe d'évolution annuelle de ce paramètre se répète quasiment à l'identique. La connaissance de l'équation du temps donne le moyen de corriger à tout instant l'heure donnée par un cadran solaire pour trouver l'heure légale, d'écoulement uniforme. Autrefois, elle permettait de contrôler la marche d'une horloge, à écoulement théoriquement uniforme, par rapport aux indications d'un cadran solaire, notamment au moment du midi vrai, alors important socialement, moment repéré sur un cadran ou une méridienne.

Résultant des caractéristiques du mouvement de la Terre autour du Soleil, l'équation du temps peut se calculer très précisément. On en trouve des tables détaillées dans les éphémérides astronomiques.

Remarque sur le mot « équation » : en astronomie ancienne, le terme « équation » désignait une correction ajoutée algébriquement à une valeur moyenne pour obtenir une valeur vraie. C'est une telle acception qui a survécu dans l'expression « équation du temps », et qui se retrouve aussi dans « équation du centre » ou « équation des équinoxes ». Il s'agit bien d'un paramètre, et non d'une équation au sens habituel du terme (égalité avec inconnues, comme c'est le cas d'une équation polynomiale ou d'une équation différentielle).

Par convention, l’équation du temps, à un instant donné, est la différence entre le temps solaire moyen et le temps solaire vrai.

• Le temps solaire moyen est basé sur le soleil moyen, défini comme un objet qui, tout au long de l'année, se déplacerait sur l'équateur à une vitesse constante, telle que la durée du jour solaire moyen soit de 24 heures exactement.
• Le temps solaire ou temps vrai est une mesure du temps basée sur le soleil vrai, tel que donné par un cadran solaire. En particulier, le midi solaire correspond à l'instant de la journée où le soleil atteint son point le plus élevé dans le ciel.

Une valeur positive de l'équation du temps indique que le soleil vrai est en retard sur le soleil moyen, c'est-à-dire plus à l'est, et une valeur négative qu'il est en avance, c'est-à-dire plus à l'ouest. Par exemple, lorsque l'équation du temps vaut + 8 minutes, cela signifie qu'il est 12 h 08 du temps solaire moyen lorsque le cadran solaire indique midi vrai.

C'est du moins la convention de signe utilisée en France, où l’équation du temps est l'équation du temps vrai, c'est-à-dire ce qu'il faut ajouter au temps vrai pour obtenir le temps moyen. Dans certains pays, tels que le Royaume-Uni, les États-Unis ou la Belgique, l'équation du temps est souvent définie avec la convention de signe inverse : c'est l'équation du temps moyen, c'est-à-dire la quantité qu'il faut ajouter au temps moyen pour obtenir le temps vrai. Les deux variables, « équation du temps vrai » et « équation du temps moyen » ont des valeurs opposées.

Autre forme de la définition : l’équation du temps, à chaque instant, est la différence entre l'ascension droite du soleil moyen et celle du soleil vrai.

L'évolution de l’équation du temps sur une année complète est représentée par la courbe rouge sur la figure ci-contre. En première approximation, sa forme s'analyse comme résultant de la superposition de deux sinusoïdes :

• En bleu sur le diagramme : une sinusoïde de période égale à un an, d'amplitude égale à 7,66 minutes et s'annulant aux passages de la Terre aux apsides : périgée le 3 janvier et apogée début juillet. Cette composante reflète l'excentricité de l'orbite terrestre.
• En vert sur le diagramme, une sinusoïde de période égale à une demi-année, d'amplitude 9,87 minutes et s'annulant aux solstices et aux équinoxes. Cette composante résulte de l'obliquité de l'écliptique sur l'équateur.

L'équation du temps, en rouge, s'annule quatre fois par an, vers le 15 avril, le 13 juin, le 1 septembre et le 25 décembre. Son maximum, atteint vers le 11 février, vaut 14 min 15 s, et son minimum, atteint vers le 3 novembre, vaut − 16 min 25 s.

Analemme

L'évolution annuelle de l'équation du temps, en un lieu donné, peut être visualisée à l'aide d'une courbe appelée analemme ou courbe en 8, définie comme suit : chaque point de cette courbe représente une position du soleil (vrai) lorsqu'il est 12 h pour le soleil moyen, c'est-à-dire lorsque ce dernier passe au centre du diagramme. Les axes sont les suivants, avec des échelles différentes, de façon à mieux mettre en évidence la légère asymétrie de la courbe :

• L'axe horizontal représente l'azimut en degrés (180° correspond au sud). L'équation du temps se lit le long de cet axe, donc comme l'écart horizontal par rapport à la ligne 180°. Avec la convention de signe adoptée, elle est positive à gauche de la ligne 180°. La correspondance entre l'angle et le temps est 360° = 24 h, donc 1° = 4 minutes.
• L'axe vertical représente la hauteur du soleil au-dessus de l'horizon, liée aux variations de sa déclinaison.
• Le soleil moyen, midi moyen, se trouve au centre du diagramme (azimut = 180°, hauteur = 90° - latitude du lieu)

Sur l'exemple ci-contre, le premier jour de chaque mois est affiché en noir, et les positions des solstices et équinoxes sont affichées en vert. On lit par exemple :

• le 3 novembre, avance maximale du soleil vrai sur le soleil moyen, et l'équation du temps, qui est négative, vaut - 16 min 23 sec ;
• le 12 février, le retard est maximal, et l'équation du temps, qui est positive, vaut + 14 min 20 sec ;
• au solstice d'hiver, vers le 21 décembre, la hauteur du soleil est minimale et vaut 15,08° (hauteur au solstice d'hiver = colatitude du lieu - obliquité de l'écliptique = 38,52° - 23,44°) ;
• au solstice d'été, vers le 21 juin, la hauteur est maximale et vaut 61,96° (hauteur au solstice d'été = colatitude du lieu + obliquité de l'écliptique = 38,52° + 23,44°) ;
• aux équinoxes, le soleil passe dans le plan de l'équateur et a, à ce moment-là, la même hauteur que le soleil moyen, égale à la colatitude du lieu

Certains cadrans solaires sont munis d'un analemme. Ils peuvent même donner directement le temps moyen, soit parce que les droites horaires sont transformées en courbes corrigées de l'équation du temps, soit parce que le gnomon a reçu une forme tenant compte de cette correction. Dans les deux cas, il faut tenir compte de la période de l'année ou disposer de deux cadrans.

Homonymie

Il ne faut pas confondre cet analemme avec la figure du même nom, qui lui est historiquement bien antérieure , et qui servait à tracer des cadrans solaires ou établir géométriquement la hauteur du soleil. Elle résultait de la projection de la sphère céleste sur le plan méridien.

Variation de cette évolution au cours du temps

La forme de la courbe « équation du temps », c'est-à-dire la valeur des extrema et les instants où on les observe, ainsi que les instants où la courbe s'annule, évoluent très lentement au cours des années pour au moins deux raisons :

1. la Terre dans son mouvement autour du Soleil subit l'influence des autres planètes du système solaire, ce qui entraîne une variation de l'excentricité de son orbite, ainsi qu'une lente rotation de la ligne joignant le périhélie à l'aphélie de l'orbite, appelée ligne des apsides.
2. la Terre, dans sa rotation sur elle-même, subit l'influence du couple (Lune, Soleil), ce qui entraîne une variation de son obliquité en inclinaison et direction ; ces phénomènes sont connus et décrits sous le nom de nutation en longitude, nutation en obliquité et précession des équinoxes.

Ces évolutions provoquent notamment un glissement relatif des dates des passages aux apsides par rapport à celles des solstices et des équinoxes, qui sont fixes par construction de l'année tropique. Sur une durée de 70 siècles, de l'an - 2000 à + 5000, les extrema sont définis par le tableau suivant :

Influence de l'ellipticité de l'orbite de la terre

Les étapes du retour du midi vrai d'un jour à l'autre, c'est-à-dire le retour d'un méridien donné face au soleil, peuvent se décomposer comme suit :

• une rotation complète (360°) de la terre sur elle-même pour passer de 1 à 2,
• ce faisant la Terre a avancé sur son orbite autour du Soleil, et de ce fait elle montre ce même méridien non pas face au Soleil mais face aux étoiles lointaines, point 2,
• une rotation complémentaire de la Terre sur elle-même est alors nécessaire pour que le méridien soit à nouveau face au Soleil, point 3. Cette rotation complémentaire est proportionnelle à la vitesse de la Terre le long de son orbite. Si la vitesse est variable, alors l'angle complémentaire de rotation est variable.

La seconde loi de Kepler (loi des aires) indique que la vitesse de la Terre varie le long de cette orbite ;

• elle s'accroît depuis son aphélie pour devenir maximale (30,287 km/s) à son périhélie (aux alentours du 3 janvier),

• puis ensuite décroît pour devenir minimale (29,291 km/s) à son aphélie (une demi-année plus tard) ;

• l'accélération est maximale à mi-chemin (aux alentours de début avril) entre l'aphélie et le périhélie,

• la décélération est maximale à mi-chemin (aux alentours de début octobre) entre le périhélie et l'aphélie,

• accélération et décélération sont nulles en ces deux points (périhélie et l'aphélie),

• pendant la phase d'accélération, la rotation complémentaire est donc à chaque fois plus importante pour compenser l'avance plus importante sur l'orbite, ce qui entraîne un retard à chaque fois plus important du retour du midi vrai,

• et inversement pendant la phase de décélération,

• le retard est maximal lorsque l'accélération est maximale ; il est minimal lorsque la décélération est maximale.

En première approximation, ce retard varie sinusoïdalement avec une période d'une année, s'annule au périhélie et à l'aphélie, et est extrémal entre ces deux points (courbe bleue de la figure équation du temps). L'expression de ce retard dû à l'ellipticité, exprimé en minutes, est le suivant :

ΔT_C(d) = 7,53.cos(B) + 1,5.sin(B) = 7,678.sin(B + 1,374)

Voir la définition de B(d) ci-dessous.

Influence de l'obliquité de la Terre

Même si l'orbite de la terre était circulaire, le mouvement apparent du soleil le long de l'équateur céleste ne serait pas uniforme, par suite de l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre par rapport à son plan orbital.

L'introduction du paragraphe précédent décompose en 3 étapes le retour d'un méridien donné face au soleil ; la figure ci-contre montre ces mêmes 3 étapes mais en adoptant un point de vue géocentrique, c'est-à-dire la terre étant fixe au centre de la figure et le soleil orbitant autour de la terre :

• une rotation complète (360°) de la terre sur elle-même pour passer de 1 à 2,
• ce faisant le soleil a avancé sur son orbite autour de la terre, et de ce fait la terre montre ce même méridien non pas face au soleil mais face aux étoiles lointaines, point 2,
• une rotation complémentaire de la terre sur elle-même est alors nécessaire pour que le méridien soit à nouveau face au soleil, point 3

Le soleil a avancé de façon régulière sur son orbite située dans le plan écliptique, alors que la rotation complémentaire de la terre sur elle-même pour se remettre face au soleil est mesurée dans le plan de l'équateur céleste. Il faut donc rapporter le mouvement du soleil dans ce plan de l'équateur céleste pour apprécier le retard ou l'avance du temps solaire par rapport à une horloge régulière. C'est cette opération, appelée réduction à l’équateur, qui explique que le mouvement apparent du soleil le long de l'équateur céleste n'est pas uniforme.

Comme indiqué en début de ce paragraphe, supposons une orbite circulaire. Le module du vecteur vitesse du soleil est donc constant le long de son orbite. Les 2 composantes de ce vecteur sont l'une portée par l'axe vernal, l'autre portée par un vecteur orthogonal à cet axe vernal et situé dans le plan écliptique. La première composante se projette sans modification sur le plan de l'équateur céleste, la seconde se projette avec un facteur de réduction égal au cosinus de l'obliquité. De façon intuitive, la somme de ces 2 projections sur le plan de l'équateur céleste sera minimale sur l'axe vernal et maximale sur la quadrature de ce même axe. La variation de vitesse sera donc nulle en ces 4 points, et de même pour l'avance ou le retard.

En première approximation, il s'agit d'une sinusoïde de période une demi-année (courbe verte de la figure Équation du temps, cf. plus haut) qui s'annule quatre fois sur une année, en particulier à l'équinoxe de printemps. L'expression de ce retard dû à l'obliquité, exprimé en minutes, est le suivant :

ΔT_R(d) = − 9,87.sin(2B)

Voir la définition de B(d) ci-dessous.

Version simplifiée de l'équation temps

La somme des 2 formules précédentes fournit une première approximation de l'équation du temps :

ΔT(d) = ΔT_C(d) + ΔT_R(d),

c'est-à-dire :

ΔT(d) = 7,678.sin(B + 1,374) − 9,87sin(2B)

avec : $B(d)=\frac{2\pi (d-81)}{365}$, exprimé en radians, dépend du numéro du jour de l'année :

d = 1 le 1 janvier ; d = 81 à l'équinoxe de printemps.

Influence de l'ellipticité de l'orbite de la terre

• Calcul de l'anomalie moyenne

avec J₂₀₀₀ = 2451545. J est le jour julien de la date considérée. En première approximation, (J − J₂₀₀₀) peut être remplacé par le numéro d du jour dans l'année (d = 1 le premier janvier).

• Contribution de l'ellipticité de la trajectoire : c'est l'équation du centre en radian

où e = 0,01671 représente l'excentricité de la trajectoire de la Terre autour du Soleil.

Application numérique :

Influence de l'obliquité de la terre

• Calcul de la longitude écliptique

la petite différence de période entre λ_s et M est est due à la précession des équinoxes

• Contribution de l'obliquité de la Terre : c'est la réduction à l'équateur (en radian)

où y = tan(ε / 2) ; ε = 23,43929 représente l'inclinaison de l'axe de la Terre par rapport au plan de l'écliptique.

Application numérique :

Équation du temps

Équation du temps en degrés :

E(d) = C(d) + R(d), où C et R sont exprimés en degrés.

Équation du temps en minutes :

$\Delta T(d)=4\times E(d)$, où E est exprimé en degrés.

Explications et démonstration de la formule

La figure 1 montre la Terre T qui tourne sur elle même et qui tourne autour du Soleil S en un an dans le plan de l'écliptique. La situation présentée correspond à l'automne. Le point P est le périhélie, atteint au début du mois de janvier. L'angle θ s'appelle anomalie vraie. L'axe γ, appelé axe vernal ou point vernal, est l'intersection du plan de l'écliptique avec le plan équatorial. Il sert d'origine pour mesurer la longitude écliptique λ_s.

La figure 2 représente la Terre dans un repère fixe par rapport aux étoiles. L'obliquité $\epsilon$ est l'angle entre le plan de l'écliptique et le plan de l'équateur.

Appelons t le temps qui s'écoule. Considérons un point $A\left(t\right)$ fixé sur Terre et positionné sur l'équateur. Il fait donc un tour en un jour sidéral de façon régulière.

Partant du centre de la terre, le point $S\left(t\right)$ est situé en direction du Soleil. Il se situe donc sur le cercle de l'écliptique. Le point $S\left(t\right)$ fait un tour en une année sidérale.

Comme l'orbite terrestre est elliptique et d'après les lois de Kepler, $S\left(t\right)$ ne tourne pas de façon régulière. Considérons le méridien passant par $S\left(t\right)$ et appelons $B\left(t\right)$ l'intersection de ce méridien avec l'équateur. Remarquons qu'il est midi solaire au point A lorsque le point $A\left(t\right)$ traverse ce méridien (i.e. lorsque les points $A\left(t\right)$

et $B\left(t\right)$ coïncident). Remarquons aussi qu'un jour solaire vrai est la durée qui sépare deux croisements de $A\left(t\right)$ et $B\left(t\right)$. Plus généralement l'heure solaire vraie est l'angle entre $A\left(t\right)$ et $B\left(t\right)$ :

H_V est l'heure qu'indiquerait un cadran solaire.

Pour définir l'heure solaire moyenne, il faut se référer à des mouvements réguliers (moyennés). Nous avons vu que le point $A\left(t\right)$ a un mouvement régulier. Ce n'est pas le cas du point $B\left(t\right)$, ni même du point $S\left(t\right)$. À la place de $S\left(t\right)$ on considère un point virtuel $\tilde{S}\left(t\right)$ sur l'écliptique qui a un mouvement régulier et de même période (on verra que $\tilde{S}\left(t\right)$ est directement relié à l'anomalie moyenne $M\left(t\right)$).

Par conséquent l'heure solaire moyenne est :

Par définition l'équation du temps est la différence :

Or une relation de trigonométrie donne :

En effet, projetons à partir du centre de la terre le triangle sphérique SγB sur le plan tangent à la terre au point vernal γ. Il devient un triangle rectangle d'angle $\epsilon$ au sommet γ et de côté adjacent $a=\tan (\widehat{\gamma B})$ et d'hypothénuse $h=\tan (\widehat{\gamma S})$. On déduit la relation $a=h\cos \epsilon$.

On déduit :

et l'expression de l'équation du temps :

Remarques

• Dans cette dernière équation tout est connu. D'une part, d'après la figure 1 il apparaît que l'angle $\widehat{\gamma S}$ est reliée à la longitude écliptique λ_s par

et λ_s elle même est reliée à l'anomalie vraie $\theta \left(t\right)$ par ${\lambda }_s=\theta +\overline{\omega }$ où $\overline{\omega }$ est la longitude du périhélie. Donc

De même $\widehat{\gamma \tilde{S}}$ est relié à l'anomalie moyenne $M\left(t\right)$ par

• Traditionnellement on décompose E(t) de la façon suivante :

Le premier terme, C, est appelé « contribution de l'ellipticité » ou équation du centre. On a : $C=\left(\widehat{\gamma S}-\widehat{\gamma \tilde{S}}\right)=\theta \left(t\right)-M\left(t\right)$. C est dû à l'ellipticité de l'orbite terrestre. Dans un modèle où la Terre aurait un mouvement circulaire et régulier, on aurait $\tilde{S}=S$ et seul le deuxième terme, R, appelé réduction à l'équateur et dû à l'obliquité $\epsilon$, interviendrait. Remarquer que si on avait $\epsilon =0$ (le soleil en permanence dans le plan de l'équateur), ce dernier terme serait nul.

• À l'aide d'un développement limité, et en posant $y=\tan \frac{\epsilon }{2}\simeq 0.20$, le terme de la réduction à l'équateur ci-dessus peut s'écrire