Espace localement convexe

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Introduction

Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

la topologie de E peut être définie par une famille de semi-normes ;
le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.

Dans ce cas, la famille de semi-normes peut toujours être choisie filtrante.

Critère de séparation

Théorème — Pour qu'un espace localement convexe E défini par une famille $(p_{i})_{i \in I}$ de semi-normes soit séparé, il faut et il suffit que pour tout vecteur non nul $v \in E$ il existe une semi-norme $p_{i}$ telle que $p_{i} (v) \neq = 0$ .

En effet, un espace vectoriel topologique est séparé ssi l'intersection des voisinages de 0 est réduite au singleton {0}, autrement dit ssi pour tout vecteur v non nul, il existe un voisinage de 0 ne contenant pas v.

Continuité d'une fonction

Soient $(E, P), (F, Q)$ deux espaces localement convexes, dont les topologies sont respectivement définies par des familles de semi-normes $P$ (supposée filtrante) et $Q$ (quelconque), et f une application du premier espace dans le second. La proposition suivante résulte des définitions.

Proposition —

f est continue en un point v de E ssi

$\forall q \in\mathcal Q\quad \forall \epsilon >0 \quad \exists p\in \mathcal P\quad\exists \alpha >0\quad\forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(w)-f(v))<\epsilon\$ .

f est uniformément continue sur E ssi

$\forall q\in\mathcal Q\quad\forall\epsilon >0\quad\exists p\in\mathcal P\quad\exists\alpha >0\quad\forall v \in E\quad\forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(w)-f(v))<\epsilon\$ .

Par exemple (en prenant $F = R$ et $Q = (∣ ∣)$ ), toutes les semi-normes appartenant à $P$ sont uniformément continues sur E (car 1-lipschitziennes). Une semi-norme q sur E est en fait uniformément continue ssi elle est continue en 0, ce qui équivaut à l'existence d'une semi-norme $p \in P$ et d'une constante C>0 telles que $q \leq C p$ . On en déduit un analogue pour les applications linéaires :

Proposition — Une application linéaire $T : E \to F$ est uniformément continue ssi elle est continue en 0, ce qui se traduit par :
$\forall q \in\mathcal Q\quad\exists p\in\mathcal P\quad\exists C >0\quad\forall v \in E\quad q(T(v))\le C\ p(v)\$ .

Métrisabilité

Théorème — Soit E un espace localement convexe séparé, dont la topologie est définie par une famille $P$ de semi-normes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

E est métrisable.
Tout point de E possède une base dénombrable de voisinages.
La topologie de E peut être définie par une sous-famille dénombrable $D \subset P$ de semi-normes.
La topologie de E peut être définie par une famille dénombrable filtrante de semi-normes.
La topologie de E peut être définie par une distance invariante par translation.

Remarquons qu'un espace vectoriel normé est un espace localement convexe métrisable (topologie définie par une seule semi-norme : la norme). Cependant la réciproque n'est pas vraie car si d est la distance définie ci-dessus, d(0,v) n'est en général pas une norme sur E.

Espace de Fréchet

Un espace de Fréchet est un espace localement convexe qui est à la fois métrisable et complet au sens des espaces uniformes, ou plus simplement : un espace localement convexe complètement métrisable (c'est-à-dire dont la topologie est induite par une distance complète).