Espace de Fréchet

L'espace de Fréchet au sens de la topologie générale est décrit à l'article Espace T1.

Un espace de Fréchet est une structure mathématique d'espace vectoriel topologique satisfaisant certains théorèmes relatifs aux espaces de Banach même en l'absence d'une norme. Cette dénomination fait référence à Maurice Fréchet, mathématicien français ayant participé notamment à la fondation de la topologie et à ses applications en analyse fonctionnelle. C'est dans ce dernier domaine que la structure des espaces de Fréchet se révèle particulièrement utile, notamment en fournissant une topologie naturelle aux espaces de fonctions infiniment dérivables.

Un espace espace vectoriel topologique réel est appelé espace de Fréchet s'il est à la fois

• localement convexe,
• métrisable, et
• complet au sens des espaces uniformes,

ou plus simplement : s'il est localement convexe et complètement métrisable (métrisable par une distance complète).

Pour un espace de Fréchet non nul, il existe plusieurs distances induisant la topologie, et elles sont toutes complètes. Certaines sont de plus invariantes par translation.

En analyse fonctionnelle, on utilise directement la définition équivalente suivante :

Un espace de Fréchet est un e.v.t. réel complet (au sens uniforme) dont la topologie est induite par une famille dénombrable et séparante de semi-normes.

De même, il n'y a pas de choix canonique d'une telle famille de semi-normes. Il n'y a pas non plus de bijection naturelle entre les distances compatibles, ou les distances compatibles et invariantes, et ces familles de semi-normes.

Tout espace de Banach est un espace de Fréchet mais la réciproque n'est pas toujours vraie. En particulier, certains espaces de Fréchet ne sont pas normables.

C'est le cas de l'espace C([0;1]) des fonctions infiniment différentiables sur l'intervalle [0;1], qui peut être muni des semi-normes pour tout entier k ≥ 0 :

où f = f et pour tout k > 0, f désigne la dérivée k-ième de f.
Dans cet espace, une suite (f_n) de fonctions converge vers la fonction $f\in {\mathcal{C}}^{\infty }([0;1])$ si et seulement si pour tout k≥0, la suite (f_n) converge uniformément vers f.

Plus généralement, si M est une variété compacte lisse et B un espace de Banach alors l'espace des fonctions infiniment différentiables de M vers B peut être muni d'une structure d'espace de Fréchet grâce aux semi-normes définies par les normes sup des dérivées partielles.

L'espace des suites réelles ou complexes peut également être muni d'une structure d'espace de Fréchet par les semi-normes qui associent à chaque suite la valeur absolue d'un terme fixé de la suite. La convergence d'une suite de suites revient alors la convergence terme à terme.

Plus généralement, l'ensemble des fonctions continues d'un espace topologique σ-compact X vers un espace de Banach peut être muni des semi-normes définies par les normes sup sur des compacts recouvrant l'espace X. La topologie obtenue s'identifie alors avec la topologie compact-ouvert des espaces de fonctions. Ainsi, l'espace des applications continues de ℝ dans ℝ est un espace de Fréchet.

L'hypothèse de complétude permet d'appliquer aux espaces de Fréchet le théorème de Baire et ses conséquences, entre autres :

• le théorème de Banach-Steinhaus : toute famille simplement bornée d'applications d'un espace de Fréchet dans un espace vectoriel topologique est équicontinue ;
• le théorème de l'application ouverte : toute application continue surjective entre deux espaces de Fréchet est ouverte ;
• son corollaire : toute application continue bijective entre deux espaces de Fréchet est un homéomorphisme ;
• le théorème du graphe fermé : toute application de graphe fermé entre deux espaces de Fréchet est continue.

La convexité locale assure aussi les propriétés suivantes :

• les points d'un espace de Fréchet sont séparés par son dual topologique (cf Théorème de Hahn-Banach).
• tout convexe compact d'un espace de Fréchet est l'adhérence de l'enveloppe convexe de ses points extrémaux (cf Théorème de Krein-Milman).

Le théorème d'inversion locale ne s'applique pas en général aux espaces de Fréchet, mais une version faible a été trouvée sous le nom de théorème de Nash-Moser.

L'espace des applications linéaires continues entre deux espaces de Fréchet ne constituant pas a priori un espace de Fréchet, la construction d'une différentielle pour les fonctions continues entre deux espaces de Fréchet passe par la définition de la dérivée de Gâteaux.

Soit Φ une fonction définie sur un ouvert U d'un espace de Fréchet X, à valeurs dans un espace de Fréchet Y.
La dérivée de Gâteaux de Φ en un point x de U et dans une direction h de X est la limite dans Y (lorsqu'elle existe)
${\Phi }^{\prime }(x;h)={\lim }_{t\to 0}\frac{1}{t}(\Phi (x+th)-\Phi (x))$.
(la variable t étant réelle)

La fonction Φ est dite Gâteaux-différentiable en x s'il existe une application linéaire continue Φ'_G(x ) de X dans Y telle que pour tout h de X, (Φ'_G(x ))(h) = Φ'(x ; h).

La différentielle de l'application Φ peut alors être vue comme une fonction définie sur une partie de l'espace de Fréchet X×X et à valeurs dans Y. Elle peut éventuellement être différentiée à son tour.

Par exemple, l'opérateur linéaire de dérivation D : C([0,1]) → C([0,1]) défini par D (f ) = f ' est infiniment différentiable. Sa première différentielle est par exemple définie pour tout couple (f, h) de fonctions infiniment dérivables par D' (f )(h) = h' , autrement dit D' (f ) = D.

Cependant, le théorème de Cauchy-Lipschitz ne s'étend pas à la résolution des équations différentielles ordinaires sur des espaces de Fréchet en toute généralité.

Une suite d'éléments d'un espace vectoriel topologique est dite de Cauchy au sens des espaces uniformes si pour tout voisinage de l'origine, il existe un rang à partir duquel la différence entre deux termes quelconques de la suite est toujours dans ce voisinage. L'espace vectoriel est dit complet si toute suite de Cauchy converge.

S'il existe une distance d invariante dont les boules constituent une base d'ouverts pour un espace vectoriel topologique localement convexe E, cette distance peut être modifiée pour que ses boules soit convexes. Les applications suivantes de E dans ℝ forment alors une famille séparante de semi-normes continues indexée par les entiers positifs :
$p_k:x\mapsto \inf \left\{\lambda \in {\mathbb{R}}^{+}:d\left(0,\frac{1}{\lambda }x\right)\le \frac{1}{k+1}\right\}$.
Toute boule centrée sur l'origine pour la distance d contient donc la « boule unité » de l'une des semi-normes.

S'il existe une suite séparante de semi-normes continues (p_k) sur un espace vectoriel topologique complet E et qui engendre la topologie de E, ces normes peuvent être modifiées pour que la suite soit croissante. Dans ce cas, les boules de semi-normes forment une base de voisinages de l'origine. L'application d suivante définit alors une distance invariante sur E : $d:(x,y)\mapsto {\sum }_k\frac{2^{-k}{p}_k(y-x)}{1+p_k(y-x)}$.

Si l'hypothèse de convexité locale n'est pas satisfaite, comme sur les espaces L avec p < 1, l'existence d'un distance invariante et complète ne suffit pas à définir une structure d'espace de Fréchet.