Espace topologique irréductible

Un espace topologique X non vide est dit irréductible si l'une quelconque des ces affirmations équivalentes est réalisée :

• L'intersection d'une famille finie d'ouverts non vides de X quelconques est non vide.
• La réunion d'une famille finie de fermés propres (i.e différents de X) est propre.
• Tout ouvert non vide de X est dense dans X.
• Tout ouvert de X est connexe.

On cherche souvent à décomposer un espace topologique en parties irréductibles. Une composante irréductible d'un espace topologique X est un sous-espace irréductible de X maximal pour l'inclusion. Les composantes irréductibles forment une partition d'un espace topologique.

Cette définition n'a d'utilité que quand la topologie de X code une certaine combinatoire, par exemple dans la cas de la topologie de Zariski.