Fonction de Clausen

En mathématiques, la fonction de Clausen est définie par l'intégrale suivante :

Plus généralement, on définit

$\mathrm{Cl}s(\theta )=\sum {n=1}^{\infty }\frac{\sin (n\theta )}{n^s}$.

Elle est reliée au polylogarithme par

${\mathrm{Cl}}_s(\theta )=\Im ({\mathrm{Li}}_s(\exp (i\theta )))$.

Ernst Kummer et Rogers donnent la relation

valide pour $0\le \theta \le 2\pi$.

Pour les valeurs rationnelles de $\frac{\theta }{\pi }$ (c’est-à-dire, pour $\frac{\theta }{\pi }=\frac{p}{q}$ pour certains entiers p et q), la fonction $\sin (n\theta )$ peut être comprise comme représentant une orbite périodique d'un élément dans le groupe cyclique, et ainsi ${\mathrm{Cl}}_s(\theta )$ peut être exprimé comme une simple somme impliquant la fonction zeta d'Hurwitz.

On peut noter l'évaluation suivante :

où K est la constante de Catalan.

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 . See section 27.8
• Leonard Lewin, (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (1991) American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 0-8218-4532-2