Fonction mesurable

Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu $\mathfrak{E}$ et $\mathfrak{F}$.

Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de dans $(F,\mathfrak{F})$ si l'image réciproque de la tribu $\mathfrak{F}$ est une sous-tribu de $\mathfrak{E}$.

Il est à noter que si F est l'ensemble des réels et si $\mathfrak{F}$ est la tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur .

Il suffit alors de vérifier que l'image réciproque de tout ouvert est dans $\mathfrak{E}$.

Propriétés de passage à la limite pour les fonctions positives

Soit E un espace mesurable et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurable de E dans ${\mathbb{R}}_{+}$ alors la fonction $f$ définie par $f={\sup }_n{f}_n$ l'est également.

Démonstration: on considère pour cela l'image réciproque de $]a,+\infty {[}_{;}$, que l'on peut écrire

on obtient une réunion dénombrable d'éléments de $\mathfrak{E}$ donc un ensemble mesurable.

Par passage au complémentaire, on conclut que l'image réciproque de [0,a] est aussi mesurable. Les intervalles de la forme [0,a[ sont réunion dénombrable des ensembles précédents et donc sont mesurable. Il en est de même pour les intervalles de la forme ]a,b[ obtenus par intersection. Or cette famille engendre la tribu. CQFD

Si les fonctions f_n de X dans ${\mathbb{R}}_{+}$ sont toutes mesurables, la fonction inf f_n l'est également, ainsi que les fonctions liminf f_n, limsup f_n.

En particulier, si la limite existe elle est mesurable.

Les démonstrations sont du même type.